導讀作者|林開亮(西北農林科技大學理學院)來源|和樂數學，本文是2021年10月17日林老師在第十屆全國數學文化論壇學術會議上所作的報告。楊振寧1969年致M.....

作者 | 林開亮(西北農林科技大學理學院)

來源 | 和樂數學，本文是2021年10月17日林老師在第十屆全國數學文化論壇學術會議上所作的報告。

楊振寧 1969 年致 M. Kac 的一封信：

隨后，基于耦合強度改變時沒有重根這一點，我們做了一種物理學家式的“證明”。我們很快就認識到，這種做法是不正確的，至少在六個星期的時間里，我們都在為試圖證明這個猜想的徒勞無功而感到沮喪。……我記得在 12 月初，您把所有耦合強度都相同這種特殊情形下的證明告知我們。這個證明正是您現在所寫的與Pólya的工作相關的那部分。您的證明很巧妙，但是我們不滿足于這種特殊情形下的結果，一心想要解決一般情形下的問題。

爾后，12 月 20 日左右的一個晚上，我在家里工作,忽然領悟到，如果使, , 成為獨立變量并研究它們相對于單位圓周的運動，就可以利用歸納法、通過類似于您所用的那種推理得到完整的證明。一旦有了這個想法，只消幾分鐘就可以把論證的所有細節寫出來。……

這一切我都記得很清楚，因為我對這個猜想及其證明感到很得意。雖然說這算不上什么偉大的貢獻，但是我滿心歡喜地視之為一顆珍珠。

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Kac 證明的特例

楊振寧的頓悟

楊振寧和李政道“狀態方程和相變的統計理論：I. 凝聚理論”

解決這個問題時，允許逸度取復數值。雖然只有實的逸度值才有物理意義，但是只有進入復平面才能完全揭示出熱力學函數的解析行為，從而找到凝聚態氣態和相變區域的一種描述。

楊武之的數學啟蒙

我有個很有名的定理，叫做“單位圓定理”。單位圓定理是說，在物理中很有用的一類多項式，它們的根都在單位圓周上。我之所以會想到考慮多項式的根，是因為在我很小的時候，我父親（楊武之，清華大學數學教授）就教給我兩個漂亮的定理，其中之一是代數基本定理，它說每個非常數的多項式有復數根。（另一個是正17邊形可以尺規作圖，恰好與對稱有關。)

季理真訪談，《楊振寧眼中的科學和科學家》

楊振平的回憶：

1951 年圣誕節, 我去普林斯頓大哥家度假, 他那時剛剛證明了單位圓定理. 我大學尚未畢業, 數學和物理的基礎都不是很強, 他興致極高地跟我講單位圓定理. 雖然我完全不明白他說什么, 可是他當時的極端興奮給我留下了不可磨滅的印象.

他說他在這個問題上苦思良久沒有結果, 曾經去請教高等研究所著名數學家 Von Neumann 教授. Von Neumann 亦不知如何措手. 六個星期以后, 他終于解決了困難, 得到了全部證明. 他當時還說, “這恐怕將是我一生中能證明的最美的定理.”多年以后, 我提起他的這句話, 他已經完全不記得了, 可能是因為他做了更重要更美的工作.

楊振寧因為他在統計力學中的各項突出貢獻而獲得 1999 年美國物理學會頒發的 Onsager 獎, 頒獎詞如下:

他在統計力學和量子流體理論方面基本而重要的貢獻, 這包括單位圓定理, 在非對角長程序和磁通量量子化方面的精心杰作, Bose-Einstein 凝聚理論, 以及一維和二維統計力學模型熱力學特性的精確計算.

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一生中最漫長的計算:

1951 年初, 我開始深入研究 Ising 模型的問題。……沿著這個方向，1951 年正月，我得到結論：利用隱藏在 Onsager 方法中的其他信息，我可以計算出自發磁化。于是我著手做了一個冗長的計算，這是我的物理學生涯中最長的一個計算。它曲曲折折，處處都要用到一些技巧，一路上碰到數不清的障礙。然而，過不了幾天，總會發現一些新訣竅，指明新的路子。我很快就感到自己處在一個迷陣里，搞不清楚經過這許多峰回路轉之后，究竟是否比出發時更接近原定的目標。這種感覺是非常令人沮喪的，好幾次我差不多要放手不干了。但是每次總有些什么東西把我拉回來，通常是一個新的訣竅使事情豁然開朗，哪怕只是照亮了其中的一個局部。

經過大約6 個月的斷斷續續，所有的片段終于突然融合在一起，產生了奇跡般的各項相消的情形。我睜大眼睛盯著簡單得出奇的結果，即這篇文章的 (96) 式。因為我的計算中有些極限過程不太嚴格，我把等式按參數 的冪級數展開，并與先前 Van der Wareden, Ashkin, Lamb 得到的展開（他們的結果精確到 ）進行比較。一直比較到 ，我才感到放心：兩者完全一致。

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Yang–Baxter 方程

吳大竣–楊振寧字典

真情妙語鑄文章

教學引出的發現

Simons 的作用

I’ll tell you a funny story about Yang. After I was there inthe first yearI was there, he invited me up to his office. He was very pleased that the math department was going to—that I was there and we were going to build a good math department. So, he wanted to show me what he was doing, and he covered the board for an hour.I didn’t understand a word. But I nodded in various places and said thanks and went back to my office.The next year, the same thing. And well, I went back to my office.

But the third year, he started writing on the board, and I finally realized what he was doing. He was inventing some mathematics which was already done 40 years earlier, and I said, “「Stop, stop, stop what you’re doing. That’s already done, and you’re not doing it right」.”

He said, ”I’m not doing—it’s already done?” he said, ”Well why would the mathematicians have done this?” I said, ”Well, it was natural.” And it was, it was just a natural outgrowth of where mathematics was going in an area called fiber bundles. So, it meant connections in fiber bundles and so on. So, I told him that, and then he said, ”Well, would you give us a seminar on this stuff?” So, I said sure. It was about six sessions over lunch. It was his organization, senior physicists, so it was the best class I ever had. It was the smartest guys I ever had in a class.

來源：Simons訪談 https://www.aip.org/history-programs/niels-bohr-library/oral-histories/45111

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對稱支配力

楊振寧教授的工作中還有許多有待數學家發掘的寶藏，比如李政道–楊振寧關于多項式零點的單位圓定理。

我們可以很公正地說，楊振寧教授對于人類了解自然界的貢獻可以與 Newton，Einstein 和 Dirac 相提并論，被世人銘記。

除了上面提到的四種力，楊振寧教授還創造了一種力，就是激勵中國的年輕人成為科學家的動力。正因為他，我們也為自己是中國科學家而感到自豪。

丘成桐, 規范理論與幾何

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楊振寧先生學術思想研討會

致謝

• 感謝中科院數學所嚴加安院士給我這個機會在數學文化論壇做報告, 這個題目也是嚴先生建議的.

• 感謝寧夏大學會務組各位老師的熱情款待和周到安排.

• 感謝各位同仁來聽報告, 請大家多多指教！