導(dǎo)讀幾乎每個(gè)人都吹過(guò)肥皂泡，甚至成年人也會(huì)很有興趣地玩。2012年9月19日，在溫哥華，加拿大籍華裔泡泡藝術(shù)家楊范打破由他本人保持的吉尼斯世界紀(jì)錄，將181名參....

幾乎每個(gè)人都吹過(guò)肥皂泡，甚至成年人也會(huì)很有興趣地玩。2012 年9 月19 日，在溫哥華，加拿大籍華裔泡泡藝術(shù)家楊范打破由他本人保持的吉尼斯世界紀(jì)錄，將181 名參與者容納在一個(gè)巨型肥皂泡中。

圖1. 溫哥華的容納181 人的肥皂泡

2013 年5 月2 日，在莫斯科，一年一度的肥皂泡節(jié)在全俄會(huì)展中心舉行，慶祝春天的到來(lái)。

圖2. 參加莫斯科肥皂泡節(jié)的民眾

2013 年8月23 日，在香港舉行了“健力士世界紀(jì)錄大開(kāi)眼界”活動(dòng)，特邀英國(guó)肥皂泡大師Samsam表演了最多肥皂泡彈跳、最長(zhǎng)肥皂泡串、最大室內(nèi)肥皂泡以及大泡套小泡等夢(mèng)幻優(yōu)美的技藝。

圖3. 英國(guó)肥皂泡大師山姆在表演

除了好玩，肥皂泡也得到了高雅藝術(shù)的青睞。荷蘭歷史上最偉大的畫(huà)家倫勃朗（Rembrandt van Rijn）和18 世紀(jì)的法國(guó)畫(huà)家夏爾丹（Jean-Baptiste-Siméon Chardin）分別創(chuàng)作了世界名畫(huà)《持肥皂泡的孩子》和《吹肥皂泡的少年》。

圖4. 倫勃朗的油畫(huà)《持肥皂泡的孩子》

事實(shí)上，肥皂泡還有重要的科學(xué)背景。2013 年，美國(guó)科學(xué)新聞網(wǎng)站www.Livescience.com 刊登出了由世界各國(guó)科學(xué)家們鼎力推薦的十大影響世界文明進(jìn)程的“魅力方程”，極小曲面方程便在其中。“這個(gè)方程在某種程度上解釋了人們吹出的那些肥皂泡的秘密。”美國(guó)數(shù)學(xué)家、首屆美國(guó)國(guó)家杰出教學(xué)獎(jiǎng)獲得者Frank Morgan 在推薦時(shí)表示，這個(gè)非線性方程描述了美麗肥皂泡背后的數(shù)學(xué)。肥皂泡蘊(yùn)含的極小曲面問(wèn)題與偏微分方程、微分幾何、復(fù)變函數(shù)、變分法、拓?fù)鋵W(xué)等多個(gè)方向都有著十分重要的聯(lián)系，向人們展示了曲面的美感和幾何的魅力。

20 世紀(jì)50 年代，新設(shè)計(jì)學(xué)派提出的“極小曲面”理念開(kāi)創(chuàng)了現(xiàn)代張拉膜結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的先河。基于這種理論，對(duì)于特定邊界條件得到的膜結(jié)構(gòu)表面積最小，從而耗能最少。這類膜建筑的主要結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是預(yù)應(yīng)力在整個(gè)結(jié)構(gòu)中均勻分布。例如，東京街頭景觀——極小曲面亭、紐約科學(xué)館中的極小曲面華蓋、德國(guó)boxel實(shí)驗(yàn)館中有2000 多個(gè)啤酒箱組成的極小曲面和廈門(mén)園博園中的極小曲面建筑。

圖6. 極小曲面方程

圖7. 東京街頭景觀——極小曲面亭

圖8. 紐約科學(xué)館中的極小曲面華蓋

圖9. 德國(guó)boxel 實(shí)驗(yàn)館中的“啤酒箱”極小曲面

圖10. 廈門(mén)園博園中的極小曲面建筑

1.極小曲面及其方程

圖11. 歐拉的《尋求具有極大或極小性質(zhì)的曲線》

1744 年，有史以來(lái)最偉大的數(shù)學(xué)家之一歐拉出版了《尋求具有極大或極小性質(zhì)的曲線》（Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes）（ 圖11）， 這標(biāo)志著變分法作為一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支的誕生。在該書(shū)中，歐拉提出了這樣一個(gè)問(wèn)題： 求出在點(diǎn)(x0, y0) 和點(diǎn)(x1, y1) 之間的平面曲線y ＝ f(x)，使得它在繞x 軸旋轉(zhuǎn)時(shí)所產(chǎn)生的曲面面積最小。歐拉證明了它必須是一段懸鏈線

其中c 是一個(gè)正常數(shù)。因其函數(shù)圖像與懸掛在兩點(diǎn)的繩子在均勻引力作用下自然下垂之形相似而稱之為懸鏈線，懸鏈線生成的旋轉(zhuǎn)面叫做懸鏈面。

1760 年，法國(guó)數(shù)學(xué)家拉格朗日以歐拉的思路和結(jié)果為依據(jù)，得到了更完善的結(jié)果。他的論文《關(guān)于確定不定積分式的極大極小的一種新方法》（Essai dune nouvelle méthode pour déterminer les maxima etles minima des formules intégrales indéfinies）是用分析方法建立變分法的代表作。他發(fā)表前寫(xiě)信給歐拉時(shí)，稱此文中的方法為“變分方法”（the method of variation）。歐拉肯定了，并在他自己的論文中正式將此方法命名為“變分法”（the calculus of variation）。

在三維空間中考慮曲面M : z ＝ u(x, y)，(x, y) ∈ D，其中D 是平面上的一個(gè)光滑區(qū)域。拉格朗日利用他創(chuàng)立的變分法原理證明了： 所有定義在D 上且在邊界?D上取相同值的光滑函數(shù)圖像中，若曲面M 的面積最小，則u 滿足極小曲面方程

我們下面對(duì)(1) 給出一個(gè)簡(jiǎn)單的證明。設(shè)Mt : z ＝ u(x, y) ＋ tv(x, y), (x, y) ∈ D,其中t ∈ ( － 1,1)，v 在邊界?D 上取值為0，則Mt 的面積

若A(M0) 的值最小，即A(Mt) ≥ A(M0)，則A(Mt) 在t ＝ 0 處取極小值A(chǔ)(M0)，從而

在(2) 式中對(duì)t 求導(dǎo)，再應(yīng)用散度定理（即高維分部積分公式），注意到v 在邊界?D 上取值為0，并根據(jù)v 的任意性，可以得到

它也經(jīng)常被求導(dǎo)展開(kāi)，去掉分母，就可以寫(xiě)成方程(1)。

很顯然，線性函數(shù)u(x, y) ＝ ax ＋ by ＋ c 是方程(1) 的一個(gè)解，也就是說(shuō)，平面是一個(gè)極小曲面。當(dāng)給函數(shù)u(x, y) 附加一些條件時(shí)，我們能夠得到極小曲面方程的兩個(gè)非線性函數(shù)的特解。

如果要求M 是一個(gè)旋轉(zhuǎn)面，那么函數(shù)u(x, y) 可以表示成

其中h(r) 是待定的單變量函數(shù)。將u 的表達(dá)式代入(1) 式得到

解這個(gè)常微分方程，有

c 和c1 是任意常數(shù)。取c1 ＝ 0，則上面的表達(dá)式可以寫(xiě)成

這里的cosh 表示雙曲余弦函數(shù)，此時(shí)M 就是懸鏈面。

圖12. 懸鏈面

如果要求M 是一個(gè)直紋面，即由直線運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的曲面，那么函數(shù)u(x, y)可以表示成

將u 的表達(dá)式代入(1) 式得到

解這個(gè)微分方程就可以得到

c 和c1 是任意常數(shù)。取c1 ＝ 0，則方程的解為

這就是正螺旋面。螺旋面是繼平面、懸鏈面之后，人們知道的第三種極小曲面。

圖13. 螺旋面

1776 年，畫(huà)法幾何創(chuàng)始人蒙日（Gaspard Monge）的學(xué)生、法國(guó)數(shù)學(xué)家莫尼耶（Jean Baptiste Meusnier, 1754-1793）給出了方程(1) 的幾何解釋：解曲面的平均曲率為零；證明了等高線是直線的極小曲面只有螺旋面，非平凡的旋轉(zhuǎn)極小曲面只有懸鏈面。1842 年，比利時(shí)數(shù)學(xué)家卡塔蘭（Eugène Catalan,1814-1894）證明了只有平面和螺旋面兩種直紋極小曲面。

經(jīng)典極小曲面的例子除懸鏈面、螺旋面外， 還有Scherk 曲面(1834)、Enneper 曲面(1863)、 Gyroid 曲面(1970) 與Costa 曲面(1982) 等1, 2。

2.極小曲面的Weierstrass 公式

1866 年，德國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯（Karl Weierstrass，1815-1897）發(fā)現(xiàn)了用復(fù)變函數(shù)給出的極小曲面方程的通解，從本質(zhì)上揭示了極小曲面與全純函數(shù)、亞純函數(shù)之間的聯(lián)系。他證明了曲面是極小曲面等價(jià)于它的坐標(biāo)是等溫參數(shù)（使曲面第一基本形式中的E ＝ G，F(xiàn) ＝ 0 的參數(shù)）的調(diào)和函數(shù)。

設(shè)M ：r ＝ r(u, v) 是以(u, v) ∈ D 為等溫參數(shù)的極小曲面，且不是平行于xy- 坐標(biāo)面的一塊平面，則存在D 上的全純函數(shù)f 和亞純函數(shù)g，f 的零點(diǎn)集和g 的極點(diǎn)集是重合的，f 的零點(diǎn)階數(shù)等于該點(diǎn)作為g 的極點(diǎn)階數(shù)的倍，使得曲面M 的參數(shù)方程r(u, v)，w ＝ u ＋ iv，可以表示為

反過(guò)來(lái)，任意滿足上述條件的全純函數(shù)f 和亞純函數(shù)g，只要(3)式右側(cè)的積分沒(méi)有實(shí)周期性，它便可以給出以(u, v) 為等溫參數(shù)的極小曲面。(3) 被稱為魏爾斯特拉斯公式，給出了三維空間中極小曲面方程的通解。

下面通過(guò)魏爾斯特拉斯公式寫(xiě)出幾個(gè)經(jīng)典的極小曲面。

(1) 懸鏈面 取D ＝ C ，f(w) = ew，g(w) = e-w。按照公式(3)，得到

這正好是懸鏈面(x ＋ 1)2 ＋ y2 ＝ cosh2z 的參數(shù)方程。

(2) 正螺旋面 設(shè)D ＝С ，f(w) ＝ － iew，g(w) ＝ e-w，可以得到

這正好是正螺旋面z = c? arctan x/y 的參數(shù)方程。

懸鏈面和正螺旋面都定義在復(fù)平面? 上，且擁有同樣的函數(shù)g 和只相差一個(gè)－ i 因子的函數(shù)f，因此這兩個(gè)曲面有相同的參數(shù)值(u, v) 的點(diǎn)之間的對(duì)應(yīng)給出了曲面之間的等距對(duì)應(yīng)。我們也可以從直觀上感覺(jué)到懸鏈面和正螺旋面之間存在著密不可分的聯(lián)系。如果我們沿著一條經(jīng)線剪開(kāi)，就可以將懸鏈面擰成正螺旋面的一截。

圖14. 懸鏈面變成正螺旋面

(3) Enneper 曲面 設(shè)D ＝ С，f(w) ＝ 2，g(w) ＝ w 則(3) 給出

這組方程給出的曲面叫做Enneper 曲面， 是由德國(guó)數(shù)學(xué)家Alfred Enneper 在1863 年發(fā)現(xiàn)的。當(dāng)u2 v2 ≥ 3 時(shí)，Enneper 曲面有自交現(xiàn)象。

圖15. 單位圓內(nèi)的Enneper 曲面

圖16. 自交的Enneper 曲面

(4) Scherk 曲面 考慮單位圓盤(pán)D ＝ {w ∈С ||w|<1} 上的函數(shù)

則

因此它可以表示為

它是xy- 平面上，以原點(diǎn)為中心，以π 為邊長(zhǎng)的正方形區(qū)域上的一個(gè)曲面（圖17），是由德國(guó)數(shù)學(xué)家Heinrich Scherk 在1834 年發(fā)現(xiàn)的。

圖17. Scherk 曲面

不難發(fā)現(xiàn)，(4) 式可以改寫(xiě)為z ＝ lncos y － lncos x。我們還可以反過(guò)來(lái)證明，能夠表示成z ＝ φ(x) ＋ ψ(y) 的極小曲面都是Scherk 曲面。

如果我們進(jìn)一步將Scherk 曲面向外延拓，最終會(huì)得到一張完備的Scherk曲面。

圖18. 雙周期的Scherk 曲面

3.Plateau 問(wèn)題

1840 年，比利時(shí)物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家普拉托（Joseph Plateau）對(duì)最小表面積問(wèn)題著手進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究。與很多科學(xué)發(fā)現(xiàn)一樣，實(shí)驗(yàn)開(kāi)始于一次偶然。一個(gè)仆人把油濺到了盛有水和酒精的容器中，普拉托注意到油在混合物中呈現(xiàn)出了完美的球形。后來(lái)，普拉托改用肥皂溶液和甘油進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，并把蘸濕的線框放入其中，得到了一系列的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，記載于1873 年出版的兩卷本著作《實(shí)驗(yàn)與理論流體靜力學(xué)》（Statique expérimentale et théorique des liquides）中。他在自己的實(shí)驗(yàn)結(jié)論中寫(xiě)到：“那些香檳、啤酒和肥皂水中的泡沫很明顯是液體薄膜的結(jié)合體，……。因此，盡管泡沫在人們看來(lái)是極其易變的，但它一定會(huì)受到一些規(guī)則的支配。”

我們很容易就可以重演普拉托的實(shí)驗(yàn)。把一個(gè)帶把手的環(huán)狀鐵絲浸入肥皂水中，然后輕輕地取出來(lái)，在鐵絲上就會(huì)形成一個(gè)處于平衡狀態(tài)的彩色薄膜。如果我們忽略混合液體自身的重量，也不考慮風(fēng)力等外部干擾因素，那么薄膜的勢(shì)能在表面張力的作用下會(huì)達(dá)到最小值，而肥皂膜所呈現(xiàn)的曲面形狀必然具有最小的面積。

因?yàn)殍F絲構(gòu)成的邊界曲線或曲線組可以非常復(fù)雜，所以很難得到解的表達(dá)式。現(xiàn)在通常把尋求以給定空間閉曲線為邊界的面積最小的曲面問(wèn)題稱為普拉托問(wèn)題。我們可以通過(guò)一系列的肥皂膜實(shí)驗(yàn)看出普拉托問(wèn)題的多樣性和復(fù)雜性。

把鐵絲彎成一個(gè)封閉的圓周，那么張?jiān)趫A周上的肥皂膜自然是一個(gè)平面圓盤(pán)。如果改變作為邊界的圓周的形狀，對(duì)它做一些連續(xù)的變形，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，它所張成的圓盤(pán)的拓?fù)漕愋筒⒉皇潜３植蛔兊摹＠纾绻谚F絲繞兩圈封閉起來(lái)，再將它浸入肥皂水并小心地取出，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)所形成的曲面并不是單連通的，而是一條不可定向的默比烏斯帶，如圖19。它是只有一個(gè)表面和一個(gè)邊界的曲面，由德國(guó)數(shù)學(xué)家默比烏斯（August M?bius）和李斯丁（Johhan Listing）在1858 年分別獨(dú)立發(fā)現(xiàn)的。

圖19

如果我們把鐵絲框架上的把手稍稍向外分開(kāi)，那么張?jiān)诳蚣苌系姆试砟ひ矔?huì)隨之變形。在某一個(gè)時(shí)刻，肥皂膜會(huì)突然變?yōu)閱芜B通的圓盤(pán)形的曲面，如（圖20）。如果逆轉(zhuǎn)上述過(guò)程，我們可以看到，框架上張成的肥皂膜又從圓盤(pán)形曲面回復(fù)到了默比烏斯帶形曲面。反復(fù)進(jìn)行這樣的變化，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，從一種曲面類型到另一種曲面類型的跳躍往往具有滯后性。也就是說(shuō)，當(dāng)我們將框架性狀由A 變?yōu)锽，曲面保持默比烏斯帶形曲面，如果繼續(xù)將框架性狀變成C，肥皂膜類型會(huì)突然改變成為圓盤(pán)形曲面；而當(dāng)我們逆向操作時(shí)，當(dāng)框架形狀由C 變成B，肥皂膜會(huì)保持圓盤(pán)形曲面而非跳躍為默比烏斯帶形，只有繼續(xù)形變至某一時(shí)刻，肥皂膜的形狀才會(huì)突然改變。這也就是說(shuō)，框架性狀在某一個(gè)變化范圍內(nèi)時(shí)，框架張成的肥皂膜曲面既可以是默比烏斯帶形，也可以是圓盤(pán)形，而且它們都是相對(duì)穩(wěn)定的。這說(shuō)明它們與鄰近的曲面相比較，面積已經(jīng)達(dá)到了相對(duì)的最小值。也就是說(shuō)，用普拉托實(shí)驗(yàn)得到的曲面未必是面積最小的曲面，而是與相鄰近的曲面相比，面積達(dá)到最小的曲面。

圖20

我們也可以用實(shí)驗(yàn)得到前文提到的懸鏈面。用鐵絲的兩端彎成兩個(gè)大小相同的圓周，中間留一段做手柄，然后將手柄彎曲，使兩個(gè)圓周所在的平面平行且圓心對(duì)齊。把這樣一個(gè)框架浸入肥皂水后，再輕輕取出，可以看到框架上的肥皂膜張成了如圖21的形狀，它并不是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的曲面，而更像是由三塊曲面構(gòu)成的。此時(shí)，如果用一根針將中間的圓盤(pán)刺破，肥皂膜會(huì)立即收縮成懸鏈面的樣子， 如圖22。此時(shí)的曲面面積比之前的鄰近的曲面面積都要小。進(jìn)一步，如果將兩個(gè)框架圓周慢慢分開(kāi)，懸鏈面就會(huì)變得越來(lái)越長(zhǎng)，面積也會(huì)越來(lái)越大。到某一時(shí)刻，肥皂膜會(huì)分裂為分別張?jiān)趦蓚€(gè)框架圓周上的圓盤(pán)曲面, 而這兩個(gè)曲面面積之和一定小于之前的懸鏈面面積。

圖21

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圖22

由此可見(jiàn)， 由一定邊界曲線張成的極小曲面并不會(huì)隨著邊界曲線的連續(xù)變化而連續(xù)形變。在一定的時(shí)刻，其拓?fù)漕愋蜁?huì)發(fā)生突變，可能從可定向曲面變成不可定向曲面，從單連通曲面變成多連通曲面，也可能從連通曲面變成非連通曲面。這進(jìn)一步地說(shuō)明了肥皂膜實(shí)驗(yàn)得到的曲面未必是以給定框架為邊界的面積最小的曲面，而是與相鄰近的曲面相比，面積達(dá)到最小的曲面。

繼續(xù)這個(gè)有趣的肥皂泡實(shí)驗(yàn)，我們甚至可以發(fā)現(xiàn)，以同一個(gè)框架為邊界所張成的面積最小的單連通曲面可能不止一個(gè)。當(dāng)我們把鐵絲彎成形如圖23 時(shí)，由這個(gè)框架張成的極小曲面可能有兩種，一種是張?jiān)趦蓚€(gè)圓弧上的部分和張?jiān)谶B接兩個(gè)圓弧的兩條平行線間的部分共同組成的單連通曲面； 另一種可以看作是兩個(gè)圓周間的懸鏈面去掉了兩條平行線間部分所得到的單連通曲面，如圖24。這兩種情況的出現(xiàn)取決于兩個(gè)圓弧之間的距離。當(dāng)距離較大時(shí)，前一種的面積明顯小于后一種，因此會(huì)出現(xiàn)圖23 的情況；而當(dāng)距離較小時(shí)，則恰恰相反。但是，如果我們把距離取在一個(gè)合適的位置（比如間隔約等于圓周半徑時(shí)），由于兩種曲面面積近似，這個(gè)實(shí)驗(yàn)就可以穩(wěn)定地實(shí)現(xiàn)這兩種曲面。也就是說(shuō)，以同一個(gè)框架為邊界所張成的面積最小的單連通曲面可能不止一個(gè)。普拉托問(wèn)題即使在限制所求曲面的拓?fù)漕愋偷那闆r下，也是可能具有多解性的。

普拉托實(shí)驗(yàn)向人們展示了美麗肥皂泡背后優(yōu)雅的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，但是如何用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)理論去解釋這一問(wèn)題卻是數(shù)學(xué)家們面臨的一個(gè)巨大挑戰(zhàn)。自普拉托提出實(shí)驗(yàn)后的九十多年間，問(wèn)題都沒(méi)有得到突破性的進(jìn)展。這不僅是因?yàn)榻鉀Q這一問(wèn)題有一定的難度，也是因?yàn)橐恢币詠?lái)，這個(gè)問(wèn)題本身沒(méi)有得到一個(gè)恰當(dāng)?shù)谋硎觥Ｆ绽械膶?shí)驗(yàn)雖然十分有趣，然而要說(shuō)清這一問(wèn)題的條件卻并不簡(jiǎn)單。在當(dāng)時(shí)的條件下，處理這類非線性偏微分方程邊值問(wèn)題的手段有限，傳統(tǒng)方法很難發(fā)揮作用。

圖23

圖24

雖然德國(guó)數(shù)學(xué)家施瓦茲（Hermann Schwarz）和黎曼（Bernhard Riemann）曾經(jīng)研究過(guò)以折線多邊形為邊界的極小曲面的存在性，但是在數(shù)學(xué)上說(shuō)清楚普拉托問(wèn)題并給出滿意的答案，則是20 世紀(jì)30 年代的事。1930 年，匈牙利數(shù)學(xué)家拉度（Tibor Radó）在邊界為可求長(zhǎng)的簡(jiǎn)單封閉曲線情形，用極限方法證明了普拉托問(wèn)題弱解的存在性。1931 年，美國(guó)數(shù)學(xué)家道格拉斯（Jesse Douglas）引進(jìn)關(guān)于邊值的新泛函代替面積泛函，使普拉托問(wèn)題弱解的存在性得到完全解決，并給出了偏微分方程的“變分直接方法”，因而獲得1936 年的首屆菲爾茲獎(jiǎng)。道格拉斯的工作有力地推動(dòng)了極小曲面的研究，使它進(jìn)入了一個(gè)新的時(shí)期，然而解的正則性成為了一個(gè)遺留問(wèn)題。直到1970 年，美國(guó)數(shù)學(xué)家?jiàn)W斯曼（Robert Osserman）證明了上述存在的解是處處內(nèi)部正則的，即不會(huì)有分支點(diǎn)。數(shù)學(xué)家們終于徹底地解決了普拉托問(wèn)題。

圖25. 道格拉斯（1897-1965）

普拉托問(wèn)題至今仍是極小曲面相關(guān)研究中一個(gè)重要的課題。對(duì)于它的研究，帶動(dòng)了數(shù)學(xué)的許多分支的發(fā)展，特別是變分學(xué)以及偏微分方程的現(xiàn)代方法，也推動(dòng)了幾何測(cè)度論等許多數(shù)學(xué)的新概念和新方法的產(chǎn)生3,4。

1915 年，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家伯恩斯坦（Sergei Bernstein）證明了方程(1) 在全平面上的解只有一次多項(xiàng)式。也就是說(shuō)，三維空間中完備的極小曲面必定是平面。這是關(guān)于非線性偏微分方程的一個(gè)十分深刻的整體性結(jié)果，稱為極小曲面的伯恩斯坦定理。

圖26. 伯恩斯坦（1880-1968）

人們?cè)欢炔聹y(cè)伯恩斯坦定理在高維空間中也是成立的。1966 年，幾何測(cè)度論創(chuàng)始人之一、美國(guó)數(shù)學(xué)家阿爾姆格倫（Frederick J. Almgren）將這個(gè)結(jié)論推廣到了四維空間； 1967 年，美國(guó)數(shù)學(xué)家和投資家西蒙斯（James Simons）證明了對(duì)小于等于七維的空間伯恩斯坦定理都是成立的。出乎意料的是，當(dāng)空間維數(shù)大于七時(shí)，意大利數(shù)學(xué)家邦別里（Enrico Bombieri, 1974 年菲爾茲獎(jiǎng)獲得者），德喬吉（Ennio de Giorgi, 1990年沃爾夫獎(jiǎng)獲得者）和基烏斯蒂（Enrico Giusti, 1978 年Caccioppoli 獎(jiǎng)獲得者）在1969 年對(duì)極小曲面的伯恩斯坦猜想給出了反例。

注釋：

1 Almgren F. J., Minimal surface forms，The Mathematical Intelligencer，1982，4(4): 164-172。

2 陳維桓，極小曲面，大連理工大學(xué)出版社，2011。

3 Isenberg C.，The science of soap films and soap bubbles, Courier Dover Publications, 1978。

4 Meeks III W, Pérez J.，The classical theory of minimal surfaces, Bulletin of the American MathematicalSociety, 2011, 48(3): 325-407。

本文轉(zhuǎn)載自雜志《數(shù)學(xué)文化》