波函數在量子力學中是用來描述一切的東西：有電子的波函數、原子的波函數和薛定諤貓的波函數等等。在學習過程中，我們總是會看到波函數中有很多奇怪的符號，今天就來講講狄拉克符號。

在三維空間中，我們可以將向量視為從坐標原點指向任意點的箭頭。我們可以在該空間中選擇一個特別方便的基礎向量，通常它們是三個正交向量，并且長度等于1。這些基向量可以寫成列向量，每列都有一個等于1的元，其余元都等于0。然后，我們可以將任意向量寫成這些基向量的和，或者我們也可以將基向量前面的系數單獨拿出來成一個列向量。 (www.ws46.Com)

量子力學中的波函數就是這樣的向量，只不過它不是我們空間中的向量，而是稱為希爾伯特空間的抽象數學事物中的向量。波函數和描述空間方向的向量之間最重要的區別之一是，量子力學中的系數不是實數而是復數，因此它們通常具有非零虛部。這些復數可以“共軛”，通常用星號上標來表示，例如z=x iy和z*=x-iy。此外，在量子力學中，我們不寫帶箭頭的向量。相反，我們用一些有趣的括號來表示，如下所示：

這種新奇的標記法是狄拉克發明出來的，因此它被稱為狄拉克符號，它有左右兩部分：右矢和左矢。使用狄拉克符號是跟蹤向量是列向量還是行向量的便捷方法。列向量我們用右矢表示，如果有行向量，則用左矢來表示。在量子力學中，如果將列向量轉換為行向量，還要取系數的共軛，如下所示：

此外，我們還可以把這兩種方法結合來表示標量：兩個向量之間的內積是系數乘積的總和，如下所示：

在量子力學中，所有向量都描述了概率。通常我們會在空間中選擇基礎向量，以便基向量對應于可能的測量結果。因此，特定測量結果的概率是與結果對應的基向量與波函數的內積的絕對平方。

由于基向量是除了一個等于1之外只有0的那些，波函數與基向量的內積就是對應于一個非零項的系數，然后概率是該系數的絕對平方。這種從波函數中獲得概率的方法被稱為“玻恩定則”，以提出該規則者馬克思·玻恩命名。我們知道所有測量結果的概率等于1，這意味著所有基向量與波函數的內積平方和必須為1，如下所示。

波函數與基向量的內積有時也稱為在該基向量上的“投影”。之所以它被稱為投影，是因為它是在對應于基向量的方向上投影完整波函數時得到的長度。量子力學測量的問題是，一旦你進行測量，將波函數投影到一個基向量上，那么波函數的長度將不再等于1，因為得到這個特定值的概率測量結果可能小于1。

我們還可以有另一種操作：波函數自身的外積。此時，我們最終得到的不是一個數字，而是一個矩陣。在量子力學中，這個東西被稱為“密度矩陣”，我們需要它來理解退相干。