最小作用量原理是物理學中最基礎的原理，也是影響最深遠的原理之一。在上一次的文章中，我們利用最小作用量原理推導了廣義相對論的運動方程，即短程線/測地線方程。今天，我們利用該原理來推導量子場論的基礎方程——克萊因-戈登方程，它是薛定諤方程的狹義相對論形式，用來描述自旋為零的粒子。不過，在推導該方程之前，我們先來簡單的復習復習一下拉格朗日函數的推導過程。

復習

粒子從A點到B點的軌跡遵循最小作用量原理。在拉格朗日的方法中，動能減去勢能為拉格朗日量，然后將拉格朗日量沿著路徑積分為作用量，如下所示：

根據最小作用量原理，我們要找的是使作用量S最小的粒子的軌跡。假設我們找到了真實的粒子軌跡，對于任意時間下的軌跡x(t)，我們都在其軌跡上加一個微小的擺動ε(t)。在極限情況下，這些微小的擺動所引起的作用量變化ΔS=0，如下所示：

因此我們重寫拉格朗日量，并略去高階小量：

于是，我們重寫擴展后的拉格朗日量：

那么，拉格朗日量之差ΔL就有如下公式：

又因為

所以我們可以最終得到：

先看前一項：

雖然它的軌跡添加了一些微小的擺動ε，但是起點和終點的是固定的，也就是說ε=0，所以這一項就等于零了。因此，我們就剩下的后一項為零：

所以，被積函數就得等于0：

正文

在量子場論中，中心對象不再是粒子的坐標x(t)，而是場Φ(x,t)。此時的被積函數不是傳統的拉格朗日量L，而是拉格朗日密度。同樣，它與場的動能和勢能密度有關：

我們可以寫出場的動能和勢能密度的公式，就可以得到拉格朗日密度的公式：

同樣，我們在場中加入微小的擺動ε(x,t)，利用同樣的道理求得拉格朗日量之差：

因此，我們有：

按照上面的方法，前面那項的積分為零，因此我們就有：

于是，我們最終得到卡萊茵-戈登方程：

它是非常有名的波動方程，如果我們把參數κ設為0，那么它就變成了以光速傳播的波的方程。事實上，可以通過比較愛因斯坦能量動量方程，我們可以得到參數κ=mc/，有時間我們下次再講。