導(dǎo)讀作者，數(shù)學(xué)西瓜，哆嗒數(shù)學(xué)網(wǎng)群友。校對(duì)，Math001關(guān)注哆嗒數(shù)學(xué)網(wǎng)每天獲得更多數(shù)學(xué)趣文公元2019年3月的一天，一位叫TimBrowning（與Timoth....

作者，數(shù)學(xué)西瓜，哆嗒數(shù)學(xué)網(wǎng)群友。

校對(duì)，Math001

關(guān)注 哆嗒數(shù)學(xué)網(wǎng) 每天獲得更多數(shù)學(xué)趣文

公元2019年3月的一天，一位叫Tim Browning（與Timothy Browning是同一人）的數(shù)學(xué)家在其個(gè)人主頁(yè)上更新了一個(gè)網(wǎng)頁(yè)，網(wǎng)頁(yè)上的內(nèi)容非常簡(jiǎn)單，沒有任何多余的東西：

33 = 88661289752875283 (-8778405442862239)3 (-2736111468807040)3

上面的算式是將自然數(shù)33用整數(shù)的立方和表示了出來。但是，可能出乎你預(yù)料的是，這是人類第一次知道，世間還存在著這樣一個(gè)等式，第一次——我們第一次把33用這種方式寫了出來！

為什么我們對(duì)這樣一個(gè)等式如此著迷，讓我們一起看下去。

建造房子式的“堆壘數(shù)論”

我們知道我們茅草堆壘出來能建造茅屋、磚石堆壘起來能建造磚房、鋼筋混凝土堆壘起來能建造高樓大廈。

現(xiàn)在許多高樓大廈都是鋼筋混凝土建筑的，但是是不是所有的高樓大廈都可以由鋼筋混凝土來建筑呢？

這其實(shí)就是“堆壘數(shù)論”的思想。我們用簡(jiǎn)單的語(yǔ)言表達(dá)這個(gè)堆壘數(shù)論考慮的問題，如果考慮A、B兩個(gè)整數(shù)的子集。如果A中的數(shù)都能被B中的某幾個(gè)數(shù)相加得到，我們就說A能被B堆壘出來。大多時(shí)候，我們還要限制使用B中數(shù)字個(gè)數(shù)的數(shù)量。這時(shí)候，所使用的B中的數(shù)叫做堆壘項(xiàng)。

舉幾個(gè)例子：

如果A是所有不小于6的偶數(shù)集合，B是素?cái)?shù)集合，并限制只能用2個(gè)B中的數(shù)。那么問題就是著名的哥德巴赫猜想。

如果A是自然數(shù)集合，B所有完全平方數(shù)集合，并限制只能用2個(gè)B中的數(shù)。自然數(shù)的能不能寫成兩個(gè)數(shù)平方和問題。

如果A是自然數(shù)集合，B所有完全平方數(shù)集合，并限制只能用3個(gè)B中的數(shù)。自然數(shù)能不能寫成三個(gè)數(shù)平方和問題。

以此類推……

有時(shí)候，我們還可以反過來研究，比如，如果所有自然數(shù)都能被B中的數(shù)加出來，那么多少個(gè)數(shù)之內(nèi)一定能辦到？

我們用233來舉例子把：

下面這些正整數(shù)方程是否有解呢：

233 = x2 y2

233 = x2 y2 z2

233 = x2 y2 z2 w2

233 = x2 y2 z2 u2 v2

以上方程中的所有未知數(shù)地位是一樣的，我們把那種通過交換順序能變得一樣的解看成相同的解可以得到：

第一個(gè)方程，有一組解：

233 = 82 132

第二個(gè)方程，有兩組解：

233 = 12 62 142

第三個(gè)方程，有三組解：

233 = 22 62 72 122

233 = 32 42 82 122

233 = 42 62 92 102

第四個(gè)方程，有一組解

233 = 22 42 72 82 102

在第三個(gè)方程的正整數(shù)解中，我們可以看出可以出現(xiàn)一樣的元素12；

關(guān)于第四個(gè)方程有一則小故事，根據(jù)迪克遜的《數(shù)論史》(History of the Theory of Numbers)記載。1867年，史密斯(H. J. S. Smith)開始推廣表為5個(gè),7個(gè)平方數(shù)的結(jié)果。一位不為人知的委員會(huì)成員曾向巴黎科學(xué)院建議舉辦1882年的數(shù)學(xué)科學(xué)大獎(jiǎng)(grand prix des science mathématiques)賽題目為“表為5個(gè)平方數(shù)的方法數(shù)”。實(shí)際上1881年春天就發(fā)布了公告懸賞這個(gè)問題，后來才將其作為賽題。史密斯和閔可夫斯基(H. Minkowski)（值得注意的是，閔可夫斯基當(dāng)時(shí)才18歲）都獲得了該大賽的全額獎(jiǎng)金。他們倆都發(fā)展了n元二次型理論來求出表為5個(gè)平方數(shù)的方法數(shù)。

迷人的平方和

上面第一個(gè)方程為費(fèi)馬雙平方和定理(Fermats two-square theorem)的一個(gè)特例。費(fèi)馬還是“一如既往地”只寫命題不給證明，這個(gè)命題也一樣。這個(gè)命題最早被歐拉證明的。費(fèi)馬的這一命題即給出了所有4n 1型的素?cái)?shù)都可以唯一地分解為兩個(gè)平方數(shù)之和（至于如何求其唯一表示可以參看西爾弗曼的《數(shù)論概論》第26章）。那么其他數(shù)呢？

有下面一個(gè)定理：

一個(gè)大于1的整數(shù)可以寫成兩個(gè)平方整數(shù)之和，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)乃臉?biāo)準(zhǔn)素?cái)?shù)分解中不包含4n 3型素?cái)?shù)或者4n 3型素?cái)?shù)是偶次。

比如637 = 72·13有兩個(gè)素因子7與13，而是4n 1型，而7模4n 3，但素?cái)?shù)7的次數(shù)為偶數(shù)2，故637 可以表示為兩個(gè)平方數(shù)之和。實(shí)際上，637 = 142 212。

關(guān)于平方，我們還有勒讓德三平方和定理(Legendres three-square theorem)：

整數(shù)可以寫成三個(gè)整數(shù)的平方和（即允許堆壘項(xiàng)為零），當(dāng)且僅當(dāng)?shù)乃粸?^a(8b 7)型的數(shù)。（其中,4^a表示4的a次方，a與b都取自然數(shù)）

值得注意的是這里用的是“三個(gè)整數(shù)的平方和”與雙平方和情形的描述有所不同。

勒讓德的這一定理可以寫為等價(jià)形式：

整數(shù)可以寫成少于四個(gè)平方數(shù)之和（默認(rèn)平方數(shù)從1開始），當(dāng)且僅當(dāng)?shù)乃粸?^a(8b 7)型的數(shù)。（其中,4^a表示4的a次方，a與b都取自然數(shù)）

對(duì)于平方數(shù)且時(shí)，有拉格朗日四平方和定理(Lagranges four-square theorem)

每一個(gè)自然數(shù)可以寫成四個(gè)整數(shù)的平方和（即允許堆壘項(xiàng)為零）。

我們不應(yīng)該去糾結(jié)于當(dāng)需要表示的數(shù)比較小時(shí)（比如取5、6，堆壘項(xiàng)總有零出現(xiàn)），四個(gè)整數(shù)中會(huì)出現(xiàn)零。我們應(yīng)該看到當(dāng)需要表示的數(shù)為很大很大的整數(shù)時(shí)，都可以由四個(gè)平方數(shù)來表示，就像再厲害的野馬（大整數(shù)）都可以被這位馴馬師（拉格朗日四平方和定理）馴服，這便就是此定理的重要意義。

華林問題

什么是華林問題呢？

1770年，英國(guó)當(dāng)時(shí)的領(lǐng)袖數(shù)學(xué)家華林(Waring)（別因?yàn)橐糇g名將其當(dāng)作華人）在其《代數(shù)沉思錄》（Meditationes Algebraicae）第二版中提到一句話：

每一個(gè)正整數(shù)可以寫成4個(gè)整數(shù)的平方和（即允許堆壘項(xiàng)為零）；可以寫成9個(gè)正整數(shù)的立方和，可以寫成19個(gè)整數(shù)的四次方和，如此等等。

當(dāng)然這句話的一部分就是拉格朗日的定理，第二部分是華林通過大量數(shù)值試驗(yàn)得出的猜想，第三部分也是他得出的猜想。

對(duì)于每一個(gè)給定的正整數(shù)k，存在一個(gè)最小的正整數(shù)g(k)，使得每一個(gè)自然數(shù)都可以寫成不超過g(k)個(gè)整數(shù)的k次方和。

其中求g(k)的問題便是華林問題。經(jīng)過上面關(guān)于平方數(shù)的介紹，我們知道了g(2) = 4。

1909年，德國(guó)數(shù)學(xué)家韋伊費(fèi)列治(Wieferich)證明了g(3) = 9；后發(fā)現(xiàn)漏洞，于1912年由生于英國(guó)的美國(guó)數(shù)學(xué)家肯普納(Kempner)補(bǔ)正；

1940年，印度數(shù)學(xué)家皮萊(Pillai)證明了g(6) = 73；

1964年，我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)證明了g(5) = 37；

1986年，三位數(shù)學(xué)巴拉蘇布拉瑪尼安(Ramachandran Balasubramanian)、德雷斯(F. Dress)和德西霍勒(Deshouillers)證明了g(4)=19；

再回來，整數(shù)立方和還有42

好了，回到我們最初的問題：自然數(shù)的整數(shù)立方和表示。在k=3時(shí)的華林問題中，我們知道每一個(gè)正整數(shù)都可以為不超過9個(gè)正整數(shù)的立方和；

如果將前面華林問題的堆壘項(xiàng)只允許用加法的條件放開，我們?cè)试S用減法，是什么情況呢？——這個(gè)問題其實(shí)就是簡(jiǎn)易華林問題——不要因?yàn)槠涿麨椤昂?jiǎn)易華林問題”就覺得其比“華林問題”簡(jiǎn)單。

而將正整數(shù)表示成三個(gè)整數(shù)立方和的問題，就是堆壘項(xiàng)限制為3的簡(jiǎn)易問題。現(xiàn)在這個(gè)問題依然是沒有解決的問題。

我們用v(k)表示滿足相應(yīng)條件最小的正整數(shù)，即對(duì)應(yīng)于華林問題中的g(k).

1932年，V. Vesely證明了v(k)存在。

接著賴特(E. M. Wright)于1934年得到一個(gè)粗糙的估計(jì)：（此估計(jì)不等式的證明可以參看陳景潤(rùn)寫的《初等數(shù)論Ⅲ》132頁(yè)的內(nèi)容）

v(k)≤2^(k 1) k!/2

不久，賴特又對(duì)其改進(jìn)，符號(hào)比較專業(yè)就不詳述了。

再后來賴特還得到了v(k)≤2^(k 1) 4k，并研究了具體值。

1936年，莫德爾(Mordell)證明了除極少一部分?jǐn)?shù)不能確定外，大部分整都適合v(3) = 4.

我國(guó)數(shù)學(xué)家柯召曾列出一張表，將100以內(nèi)的數(shù)分解為4個(gè)立方數(shù)之和，表中幾乎每一個(gè)數(shù)均可分解為x3 y3 2z3的形式，僅有兩個(gè)例外

76 = 103 73 43-113,

99 = 53 33-13

柯召教授這樣做的目的或許是為了說明v(3)=4是正確的，但是這僅僅只能作為一些數(shù)值試驗(yàn)。

2003年，科學(xué)出版社出版了中文版的《數(shù)論中未解決的問題（第二版）》。其作者是為蓋伊（1916年9月30日~）現(xiàn)在已經(jīng)102歲高齡了。

在《數(shù)論中未解決的問題（第二版）》的第D章（該書編寫了A~F章節(jié)）的D5問題中，提到除了形如9n±4數(shù)尚且不知道結(jié)論，對(duì)于所有其他的數(shù)都證明了是4個(gè)整數(shù)的立方和。

了解同余的小伙伴們，可以做下計(jì)算，任何整數(shù)的立方在mod 9 的情況下只有-1，0，1三種可能。所以 x3 y3 z3 在mod 9 的情況下，只有0，±1，±2，±3這7種可能，而±4是不可能的。

所以形如9n±4數(shù)一定不能表示為三個(gè)整數(shù)的立方和。由此我們也可以知道v(3)>3，也就是說所有自然數(shù)不能僅由三個(gè)整數(shù)的立方和表示。但是退而求其次，哪些數(shù)可以由三個(gè)立方數(shù)表示呢？數(shù)學(xué)家們希望有像“費(fèi)馬雙平方和定理”、“勒讓德三平方和定理”這樣的定理來引導(dǎo)人們，但是目前為止還沒有。

接下來我們要步入主題了！

所有不為9n±4型的數(shù)都是三個(gè)整數(shù)的立方和嗎？蓋伊?xí)袑懙溃?992年，他對(duì)所有小于1000的數(shù)用計(jì)算機(jī)搜索后發(fā)現(xiàn),除了下面（標(biāo)紅部分截止2019年3月都還沒有被解決）表中的數(shù)以外，對(duì)于其他小于1000的數(shù)都找到了這樣的表示。

在1993年5月25日的一封電子郵件中，Andrew Bremner告訴蓋伊有：

75 = 4352030833 (-435203231)3 43811593

Conn和Vaserstein發(fā)現(xiàn)了

84 = 416396113 (-41531726)3 (-8241191)3

后來人們找到了（上表標(biāo)黃部分）

30=(-283059965)3 (-2218888517)3 22204229323

52=607029013173 239612924543 (-61922712865)3

110=1099389193 165402900303 (-16540291649)3

195=(-2238006277)3 (-5087472163)3 52279229153

290=4264170073 20708973153 (-2076906362)3

435=44604673 (-4078175)3 (-2755337)3

444=34607953 148202893 (-14882930)3

452=(-2267462975)3 (-3041790413)3 34143007743

462=19336093 (-1832411)3 (-1024946)3

478=(-1368722)3 (-13434503)3 134392373

2007年，Michael Beck, Eric Pine,Wayne Tarrant與Kim Yarbrough Jensen這四位數(shù)學(xué)家的論文指出小于1000的數(shù)還沒有找到解的剩下：

33, 42, 74, 114, 156, 165, 318, 366, 390, 420, 543, 579, 609, 627, 633, 732, 758, 786, 789, 795, 903, 906 ,921, 948, 975

2016年，Sander G. Huisman指出小于1000的數(shù)還沒有找到解的就剩：

33, 42, 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921, 975

最近，由Booker Andrew提交了一篇論文"Cracking the problem with 33"，論文中找到33這個(gè)文章開頭的結(jié)果，由Browning公之于眾。我們可以看到每個(gè)元素都是10的16次方的數(shù)量級(jí)，要讀出來應(yīng)該快讀到億億位了！

另外在數(shù)學(xué)節(jié)目Numberphile中，Timothy Browning做了一期名為“The Uncracked Problem with 33”的問題介紹，可惜目前沒有中文字幕。可以從論文"Cracking the problem with 33"的摘要與論文標(biāo)題看出Andrew Booker寫這篇論文正是源于該視頻。

也就是說到目前為止，100以內(nèi)的自然數(shù)就剩下42還沒有找到關(guān)于立方和的整數(shù)解了！

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