導(dǎo)讀切線，無(wú)疑是圓錐曲線中一類重要模型，在考題中是最常見(jiàn)的了。而對(duì)圓錐曲線切線的深入研究，對(duì)我們快速解決這類問(wèn)題是非常有幫助的。這兩天看畫板群里，板友們都在盡情....

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切線，無(wú)疑是圓錐曲線中一類重要模型，在考題中是最常見(jiàn)的了。而對(duì)圓錐曲線切線的深入研究，對(duì)我們快速解決這類問(wèn)題是非常有幫助的。

這兩天看畫板群里，板友們都在盡情玩轉(zhuǎn)”蒙日?qǐng)A“，

就突然地，想寫一寫這個(gè)特殊的“圓”了。

夾湯圓

下邊這個(gè)圖形，象不象用一雙筷子，夾住一個(gè)湯圓了呢?

我們不妨就將類似這種圖形的問(wèn)題，叫“筷子夾湯圓”問(wèn)題吧。

對(duì)，就叫筷子夾湯圓！

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其實(shí)，如果注意觀察，目前這種方式，夾湯圓時(shí)筷子的位置雖然不同，但兩雙筷子之間的關(guān)系好像總是不變的。

對(duì)，兩雙筷子總是互相垂直。

除了這個(gè)，

你還能從圖中觀察出什么呢?

對(duì)，P點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中留下的痕跡，

竟是一個(gè)漂亮的圓呢！

偶然的，還是必然?

當(dāng)然就值得有心人去研究了。

蒙日?qǐng)A的證明

在證明之前，首先在幾何上，普及兩個(gè)有關(guān)四邊形的結(jié)論。

①在平行四邊形中，各邊的平方和等于對(duì)角線的平方和。

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②在矩形ABCD中，對(duì)于平面內(nèi)任一點(diǎn)O，均有：

PA2 PC2=PB2 PD2

好，下面便可以用幾何方法肆意地去找這個(gè)圓了。

其實(shí)，這個(gè)圓就是傳說(shuō)中橢圓的“蒙日?qǐng)A”。它是由法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)的，按慣例，便很自然地以他的名字命名了。

當(dāng)然，更為有意思的是，不僅橢圓，雙曲線也有類似的“蒙日?qǐng)A”，而且連圓的方程都是非常相似的：

你能從下圖中，看出蒙日?qǐng)A的其它性質(zhì)嗎?

蒙日?qǐng)A的應(yīng)用

提示：圓是可以看成特殊的橢圓哦.

從這個(gè)題的思路可以看出，當(dāng)我們拿筷子的手在蒙日?qǐng)A內(nèi)部時(shí)，筷子的夾角是鈍角，手在蒙日?qǐng)A的外面時(shí)，筷子的夾角是銳角，而蒙日?qǐng)A，就是兩種角的分界線了。

夾湯圓的一般情形

再回顧下蒙日?qǐng)A的證明：

其實(shí)，從蒙日?qǐng)A的這個(gè)證明過(guò)程我們不難看出，只要兩條切線的斜率之積為定值，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡就是我們所熟悉的圓、橢圓、雙曲線，甚至于直線。

那么，你根據(jù)λ的不同取值范圍，去分析方程所表示的曲線嗎?

編后：

值得一提的是，本文主要介紹橢圓的蒙日?qǐng)A，但其實(shí)，雙曲線和拋物線的蒙日?qǐng)A也具備相似的特征和性質(zhì)，本文不再進(jìn)行說(shuō)明，但希望用心的同學(xué)可以自行揣摩，以進(jìn)一步提高自己的學(xué)習(xí)能力。