導(dǎo)讀切線，無疑是圓錐曲線中一類重要模型，在考題中是最常見的了。而對圓錐曲線切線的深入研究，對我們快速解決這類問題是非常有幫助的。這兩天看畫板群里，板友們都在盡情....

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切線，無疑是圓錐曲線中一類重要模型，在考題中是最常見的了。而對圓錐曲線切線的深入研究，對我們快速解決這類問題是非常有幫助的。

這兩天看畫板群里，板友們都在盡情玩轉(zhuǎn)”蒙日圓“，

就突然地，想寫一寫這個特殊的“圓”了。

夾湯圓

下邊這個圖形，象不象用一雙筷子，夾住一個湯圓了呢?

我們不妨就將類似這種圖形的問題，叫“筷子夾湯圓”問題吧。

對，就叫筷子夾湯圓！

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其實，如果注意觀察，目前這種方式，夾湯圓時筷子的位置雖然不同，但兩雙筷子之間的關(guān)系好像總是不變的。

對，兩雙筷子總是互相垂直。

除了這個，

你還能從圖中觀察出什么呢?

對，P點在旋轉(zhuǎn)過程中留下的痕跡，

竟是一個漂亮的圓呢！

偶然的，還是必然?

當(dāng)然就值得有心人去研究了。

蒙日圓的證明

在證明之前，首先在幾何上，普及兩個有關(guān)四邊形的結(jié)論。

①在平行四邊形中，各邊的平方和等于對角線的平方和。

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②在矩形ABCD中，對于平面內(nèi)任一點O，均有：

PA2 PC2=PB2 PD2

好，下面便可以用幾何方法肆意地去找這個圓了。

其實，這個圓就是傳說中橢圓的“蒙日圓”。它是由法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)的，按慣例，便很自然地以他的名字命名了。

當(dāng)然，更為有意思的是，不僅橢圓，雙曲線也有類似的“蒙日圓”，而且連圓的方程都是非常相似的：

你能從下圖中，看出蒙日圓的其它性質(zhì)嗎?

蒙日圓的應(yīng)用

提示：圓是可以看成特殊的橢圓哦.

從這個題的思路可以看出，當(dāng)我們拿筷子的手在蒙日圓內(nèi)部時，筷子的夾角是鈍角，手在蒙日圓的外面時，筷子的夾角是銳角，而蒙日圓，就是兩種角的分界線了。

夾湯圓的一般情形

再回顧下蒙日圓的證明：

其實，從蒙日圓的這個證明過程我們不難看出，只要兩條切線的斜率之積為定值，動點P的軌跡就是我們所熟悉的圓、橢圓、雙曲線，甚至于直線。

那么，你根據(jù)λ的不同取值范圍，去分析方程所表示的曲線嗎?

編后：

值得一提的是，本文主要介紹橢圓的蒙日圓，但其實，雙曲線和拋物線的蒙日圓也具備相似的特征和性質(zhì)，本文不再進(jìn)行說明，但希望用心的同學(xué)可以自行揣摩，以進(jìn)一步提高自己的學(xué)習(xí)能力。