隨著拓撲材料的出現，凝聚態物理領域見證了范式的轉變，特別是通過拓撲絕緣體的發現。拓撲絕緣體表現出一種反直覺的現象：其內部是絕緣體，但在邊界上卻存在導電態。這種現象源于拓撲與量子力學的復雜相互作用。

在各種拓撲材料中，鉍作為一種具有獨特電子性質的半金屬，已成為探索奇異拓撲現象的有前景的候選者。當鉍被塑造成分形納米結構時，它表現出更加有趣的行為，產生了具有顯著性質的拓撲邊緣態和角態。最近，一篇發表在《自然物理》的論文對分數維分形結構拓撲進行了研究。

為了理解拓撲邊緣態和角態的本質，有必要簡單介紹下拓撲的概念。在數學中，拓撲學研究的是物體在連續變形（如拉伸或彎曲）下保持不變的性質。在物理學領域，材料的拓撲性質與電子能帶結構的全局結構而非局部細節有關。例如，拓撲絕緣體具有絕緣體內部和金屬表面態，這種表面態受拓撲保護，不受缺陷、雜質甚至材料形狀變化的影響，只要拓撲不變量保持完整。

鉍是一種具有特殊能帶結構的半金屬，長期以來一直是凝聚態物理研究的熱點。其載流子密度低，自旋軌道耦合大，是承載拓撲相的理想載體。當結構成分形幾何時，鉍納米結構引入了額外的復雜性層，因為分形具有非整數維度和自相似特性。這種拓撲特性和分形幾何的結合產生了豐富的物理現象。

拓撲邊態的概念源于體-邊界對應，它假定體能帶結構的拓撲決定了系統邊界處存在保護態。以鉍分形納米結構為例，分形幾何在不同長度尺度上引入了大量的邊和角。這些邊和角充當拓撲邊緣態和角態的潛在宿主。理論模型和實驗觀察表明，邊緣和角態的數量隨系統大小呈指數級增長，這是拓撲保護的標志。

鉍分形納米結構中拓撲邊緣態的出現可歸因于幾個因素。首先，鉍的低能電子結構具有多個類狄拉克錐體，這些錐體支持拓撲表面態。分形幾何引入了邊緣和角的分層排列，每個角都可能擁有自己的類狄拉克錐。其次，鉍中強烈的自旋軌道耦合導致了時間反轉對稱性，這是實現拓撲相的關鍵因素。這種對稱性保護了拓撲邊緣和角態不受局部化和散射的影響，保證了它們的魯棒性。

除了邊緣態之外，鉍分形納米結構還顯示出拓撲角態。這些態分布在分形結構的角落，具有獨特的能量色散和拓撲性質。角態的存在與系統的分形幾何和底層對稱性之間的相互作用密切相關。理論模型預測角態的數量取決于特定的分形幾何形狀和拓撲相的對稱類。

實驗研究為鉍分形納米結構中拓撲邊緣態和角態的存在提供了令人信服的證據。通過掃描隧道顯微鏡，研究人員在銻化銦襯底上的鉍層形成的謝爾賓斯基三角形的角上觀察到了接近零能量模式。這些角態表明了高階拓撲絕緣體的存在，其中拓撲保護不僅擴展到邊緣，還擴展到材料的角。此外，在更高能量處還檢測到了外邊緣和內邊緣模式，進一步確認了這些分形結構中存在拓撲態。

實驗結果得到了使用連續繆夫罐和晶格緊束縛模型的理論計算的支持。這些模型揭示了即使在引入Rashba自旋軌道耦合和無序的情況下，拓撲特征仍然穩定。這些態的魯棒性對于電子設備的潛在應用至關重要，因為它們確保了無耗散傳輸和對散射的抵抗

鉍分形納米結構中拓撲邊緣態和角態的發現為基礎研究和潛在應用開辟了新的途徑。這些態為研究拓撲、幾何和電子性質之間的相互作用提供了獨特的平臺。此外，它們的魯棒性使其成為開發低功耗高性能電子器件的有前景的候選者。例如，拓撲邊緣態和角態可用于制造量子線、晶體管和存儲器件，具有更高的穩定性和效率。