暴漲是宇宙早期的一段快速膨脹的時(shí)期，它可以解決宇宙學(xué)的一些難題，比如平坦性問(wèn)題和視界問(wèn)題。暴漲的物理機(jī)制通常是由一個(gè)或多個(gè)標(biāo)量場(chǎng)驅(qū)動(dòng)的，這些標(biāo)量場(chǎng)稱為暴漲場(chǎng)。暴漲場(chǎng)的動(dòng)力學(xué)可以用一個(gè)勢(shì)能函數(shù)來(lái)描述，不同的勢(shì)能函數(shù)對(duì)應(yīng)不同的暴漲模型。

暴漲模型可以通過(guò)觀測(cè)宇宙微波背景輻射（CMB）的溫度和偏振漲落來(lái)檢驗(yàn)，這些漲落是由暴漲場(chǎng)的量子漲落在暴漲結(jié)束后被拉伸到宏觀尺度所產(chǎn)生的。CMB的觀測(cè)給出了暴漲場(chǎng)的原初標(biāo)量擾動(dòng)的功率譜的一些約束，比如功率譜的振幅、譜指數(shù)和張性等。

然而，CMB的觀測(cè)只能探測(cè)到暴漲場(chǎng)在大尺度上的行為，而不能探測(cè)到暴漲場(chǎng)在小尺度上的行為。在小尺度上，暴漲場(chǎng)可能有一些非常有趣的現(xiàn)象，比如超慢滾（USR）暴漲。USR暴漲是一種暴漲場(chǎng)的速度非常小，而加速度非常大的情況，這種情況下，暴漲場(chǎng)的原初標(biāo)量擾動(dòng)的功率譜會(huì)呈現(xiàn)出指數(shù)增長(zhǎng)的特征，這意味著在小尺度上，原初標(biāo)量擾動(dòng)的振幅會(huì)非常大。這種情況可以由一些特殊的勢(shì)能函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)，比如一個(gè)具有平臺(tái)的勢(shì)能函數(shù)，或者一個(gè)具有拐點(diǎn)的勢(shì)能函數(shù)。

USR暴漲的一個(gè)重要的后果是，它可以產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)引力波背景（SGWB），這是由于標(biāo)量場(chǎng)和張量場(chǎng)在愛(ài)因斯坦方程的二階展開中的耦合所導(dǎo)致的。這個(gè)SGWB的頻率可以達(dá)到納赫茲的量級(jí)，這正是脈沖星計(jì)時(shí)陣列（PTA）實(shí)驗(yàn)可以探測(cè)到的頻段。PTA實(shí)驗(yàn)是利用一組穩(wěn)定的毫秒脈沖星作為時(shí)鐘，通過(guò)測(cè)量它們的到達(dá)時(shí)間來(lái)尋找引力波的信號(hào)。如果存在一個(gè)SGWB，它會(huì)引起脈沖星之間的相關(guān)的時(shí)間延遲，這就是PTA實(shí)驗(yàn)探測(cè)引力波的原理。

最近，NANOGrav合作組發(fā)布了他們的15年的數(shù)據(jù)（NG15），并報(bào)告了一個(gè)可能的SGWB的信號(hào)，這引起了人們的廣泛關(guān)注。這個(gè)信號(hào)的來(lái)源還不清楚，有可能是由一些天體物理的過(guò)程產(chǎn)生的，比如并合的超大質(zhì)量黑洞二元系統(tǒng)，或者是由一些宇宙學(xué)的過(guò)程產(chǎn)生的，比如宇宙相變的氣泡碰撞，或者是USR暴漲產(chǎn)生的SGWB。在一篇論文中，研究人員對(duì)USR暴漲產(chǎn)生的SGWB進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)它可以解釋NG15的數(shù)據(jù)，并給出了一些參數(shù)的約束。

為了研究USR暴漲產(chǎn)生的SGWB，首先要計(jì)算原初標(biāo)量擾動(dòng)的功率譜，這可以通過(guò)求解暴漲場(chǎng)的微擾方程來(lái)得到。在USR暴漲的情況下，暴漲場(chǎng)的微擾方程可以近似為一個(gè)諧振子方程，其解可以寫成一個(gè)貝塞爾函數(shù)。在暴漲結(jié)束后，原初標(biāo)量擾動(dòng)會(huì)在視界再入時(shí)轉(zhuǎn)化為曲率擾動(dòng)，這時(shí)可以定義一個(gè)轉(zhuǎn)化系數(shù)，它取決于暴漲場(chǎng)的速度和加速度。因此，原初標(biāo)量擾動(dòng)的功率譜可以寫成一個(gè)貝塞爾函數(shù)乘以一個(gè)轉(zhuǎn)化系數(shù)的形式，它的形狀大致是一個(gè)鐘形曲線，其峰值和寬度取決于暴漲場(chǎng)的參數(shù)。

接下來(lái)，要計(jì)算由原初標(biāo)量擾動(dòng)產(chǎn)生的SGWB的功率譜，這可以通過(guò)使用愛(ài)因斯坦方程的二階展開來(lái)得到。在這個(gè)展開中，標(biāo)量場(chǎng)和張量場(chǎng)之間有一個(gè)耦合項(xiàng)，它正比于原初標(biāo)量擾動(dòng)的平方。因此，SGWB的功率譜可以寫成原初標(biāo)量擾動(dòng)的功率譜的平方乘以一個(gè)系數(shù)的形式，這個(gè)系數(shù)取決于宇宙的背景演化。在計(jì)算中，研究人員假設(shè)在USR暴漲之后，宇宙經(jīng)歷了一個(gè)輻射為主的時(shí)期，然后是一個(gè)物質(zhì)為主的時(shí)期，最后是一個(gè)暗能量為主的時(shí)期。我們還假設(shè)USR暴漲發(fā)生在暴漲的最后階段，即在暴漲結(jié)束前的一段時(shí)間內(nèi)。

最后，我們要將USR暴漲產(chǎn)生的SGWB的功率譜與NG15的數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，這可以通過(guò)使用貝葉斯統(tǒng)計(jì)方法來(lái)實(shí)現(xiàn)。我們使用了一個(gè)馬爾可夫鏈蒙特卡羅（MCMC）算法來(lái)探索USR暴漲模型的參數(shù)空間，并計(jì)算了后驗(yàn)概率分布。結(jié)果顯示，USR暴漲產(chǎn)生的SGWB可以很好地?cái)M合NG15的數(shù)據(jù)，并給出了原初標(biāo)量擾動(dòng)的功率譜的振幅和峰值位置的約束。

為了評(píng)估USR暴漲模型的優(yōu)劣，研究人員還計(jì)算了最大的對(duì)數(shù)似然值，并將其與其他可能的SGWB的來(lái)源進(jìn)行了比較，比如宇宙相變的氣泡碰撞，或者并合的超大質(zhì)量黑洞二元系統(tǒng)。我們發(fā)現(xiàn)，USR暴漲產(chǎn)生的SGWB的最大的對(duì)數(shù)似然值比并合的超大質(zhì)量黑洞二元系統(tǒng)產(chǎn)生的SGWB的最大的對(duì)數(shù)似然值要大，這意味著USR暴漲產(chǎn)生的SGWB可以更好地解釋NG15的數(shù)據(jù)。

然而，USR暴漲產(chǎn)生的SGWB的最大的對(duì)數(shù)似然值比宇宙相變的氣泡碰撞產(chǎn)生的SGWB的最大的對(duì)數(shù)似然值要小，這意味著宇宙相變的氣泡碰撞產(chǎn)生的SGWB可以更好地解釋NG15的數(shù)據(jù)。因此，我們不能完全排除其他可能的SGWB的來(lái)源，需要更多的數(shù)據(jù)和分析來(lái)確定SGWB的真正的物理起源。