分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)是一種描述粒子交換對(duì)波函數(shù)相位的影響的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，它是一種介于玻色-愛因斯坦統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)之間的一般化統(tǒng)計(jì)，它可以適用于一些非常規(guī)的粒子，如任意子。

我們現(xiàn)在考慮兩個(gè)無法區(qū)分的粒子，并且我們采用該系統(tǒng)的波函數(shù)并對(duì)其進(jìn)行平方。如果我們交換粒子A和B，波函數(shù)的平方應(yīng)該看起來完全相同，因?yàn)槲覀儾粦?yīng)該有任何方法知道哪個(gè)粒子是哪個(gè)。而如果我們交換這些粒子時(shí)波函數(shù)平方不相等，那么我們就可以區(qū)別這兩個(gè)粒子。也就是該波函數(shù)的平方必須以這樣的方式表現(xiàn)：|ψ(A,B)|2=|ψ(B,A)|2。

然后我們?nèi)∵@個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式的平方根，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，方向?yàn)锳,B的粒子波函數(shù)要么完全等于方向B,A的波函數(shù)，要么等于方向B,A的波函數(shù)前再加一個(gè)負(fù)號(hào)，即ψ(A,B)=±ψ(B,A)。所以我們?cè)谶@里發(fā)現(xiàn)波函數(shù)代表兩種不同類別的粒子：具有ψ(A,B)= ψ(B,A)波函數(shù)行為的粒子稱為玻色子，具有ψ(A,B)=-ψ(B,A)波函數(shù)行為的粒子稱為費(fèi)米子。

然而，在某些情況下，粒子交換會(huì)導(dǎo)致波函數(shù)的相位變化，而不僅僅是正負(fù)號(hào)的變化，這就是分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)的情形。分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)可以用一個(gè)參數(shù)來描述，即交換參數(shù)α。實(shí)際上，當(dāng)我們對(duì)波函數(shù)的平方開根號(hào)時(shí)，我們得到的是ψ(A,B)=e^{iπα}ψ(B,A)。也就是說，當(dāng)兩個(gè)粒子交換時(shí)，波函數(shù)會(huì)乘以一個(gè)復(fù)數(shù)因子e^iπα。當(dāng)α=0時(shí)，波函數(shù)不變，這對(duì)應(yīng)于玻色-愛因斯坦統(tǒng)計(jì)；當(dāng)α=1時(shí)，波函數(shù)變號(hào)，這對(duì)應(yīng)于費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)；當(dāng)0<α<1時(shí)，波函數(shù)既變號(hào)又變相位，這就是分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)。

也就是說，玻色-愛因斯坦統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)是兩種極端的情況，它們分別適用于玻色子和費(fèi)米子。玻色子是一種可以任意聚集在同一個(gè)量子態(tài)的粒子，如光子和聲子。費(fèi)米子是一種遵循泡利不相容原理的粒子，即同一個(gè)量子態(tài)最多只能有一個(gè)粒子占據(jù)，如電子和質(zhì)子。玻色-愛因斯坦統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)都假設(shè)粒子交換不會(huì)改變波函數(shù)的相位，只會(huì)改變波函數(shù)的正負(fù)號(hào)。

分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)在物理學(xué)中有很多重要的應(yīng)用和實(shí)例。在1977年，Jon Magne Leinaas和Jan Myrheim假設(shè)在二維空間中存在一種奇特的粒子叫做任意子，它就具有分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)。任意子只存在于二維空間中，因?yàn)樵谌S空間中，粒子的交換可以通過連續(xù)的旋轉(zhuǎn)來實(shí)現(xiàn)，而不會(huì)改變波函數(shù)的相位。

任意子的存在是量子霍爾效應(yīng)的一個(gè)重要結(jié)果，它是一種強(qiáng)磁場(chǎng)下二維電子氣的新奇物態(tài)。在量子霍爾效應(yīng)中，電子氣被限制在二維平面內(nèi)，并形成了一種拓?fù)溆行蛳啵戳孔踊魻栆后w。量子霍爾液體中存在一些激發(fā)態(tài)，它們可以被視為任意子。這些任意子可以攜帶分?jǐn)?shù)電荷和分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)，并且可以與其他任意子發(fā)生相互作用。

任意子有很多令人著迷的性質(zhì)和應(yīng)用。例如，任意子可以實(shí)現(xiàn)拓?fù)淞孔佑?jì)算，這是一種利用拓?fù)洳蛔兞縼肀Ｗo(hù)量子信息的計(jì)算模型。任意子也可以用來構(gòu)造新穎的凝聚態(tài)物理模型，如分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)和非阿貝爾量子霍爾效應(yīng)。任意子還可以用來研究高溫超導(dǎo)和強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子系統(tǒng)等前沿問題。