速降線問題是一個經典的變分問題，它問的是：在給定兩個不同高度的點之間，什么樣的曲線可以使一個沿著它滑下的物體用最短的時間到達另一個點？

這個問題在數學和物理學的發展中起了重要的作用，它激發了許多著名的數學家和物理學家的創造力和競爭力，也催生了變分法這一數學分支。本文將介紹速降線問題的歷史和兩種解法，一種是利用微積分和歐拉-拉格朗日方程，另一種是利用費馬原理和光的折射定律。

問題的提出

速降線問題最早可以追溯到17世紀初，當時意大利物理學家伽利略在研究自由落體運動時，提出了一個類似的問題：如果一個物體從一個斜面上滑下，它會沿著什么樣的斜面用最短的時間到達底部？伽利略錯誤地認為，這樣的斜面是一條直線或者一段圓弧。他在1638年出版了《關于兩門新科學的對話》，其中包含了他對這個問題的討論和推理。

伽利略的錯誤沒有被及時發現和糾正，直到1696年，瑞士數學家約翰·伯努利在《教師學報》上正式提出了速降線問題，并向全歐洲的數學家發出挑戰，要求他們在六個月內給出正確的答案和證明。約翰·伯努利自己也給出了一個解答，但他沒有公布，而是等待其他人的回應。

問題的解答

約翰·伯努利的挑戰引起了轟動，很多數學家都參與了競賽，其中包括他的哥哥雅各布·伯努利，德國數學家萊布尼茨，法國數學家洛必達，以及英國物理學家牛頓。他們都在截止日期前寄出了自己的解答，有些還用了化名或者匿名。其中牛頓是最晚收到挑戰信的，據說他只用了一天就解決了問題，并寫道：“我不想浪費我的時間來解決這樣一個簡單的問題。”

所有這些解答都得到了正確的結果，即速降線是一條擺線（又稱旋輪線或圓滾線），也就是一個固定在平面上滾動的圓周上某一點所形成的軌跡。不過，他們使用了不同的方法來推導和證明這個結論。

雅各布·伯努利使用了最復雜和最一般的方法，他首先假設速降線是一條光滑的曲線，然后用微積分和變分法來求解使下滑時間最小的條件，得到了一個二階微分方程，再用三角函數來求解這個方程，最后得到了旋輪線的參數方程。

這個方法雖然繁瑣，但是卻是一個通用的方法，可以用來解決其他類似的變分問題。雅各布·伯努利在這個過程中發現了變分法的一些基本原理，比如歐拉-拉格朗日方程，為后來的泛函分析奠定了基礎。

約翰·伯努利、萊布尼茨和牛頓則使用了更簡潔和更巧妙的方法，他們利用了費馬原理，也就是光在兩點之間傳播時，走的路線是使時間最短的路線。他們把速降線問題轉化為光的折射問題，即如果一個光線從一個折射率為n的介質進入另一個折射率為y的介質，它會沿著什么樣的路徑折射？根據費馬原理和光的折射定律，可以得到一個一階微分方程，再用三角函數來求解這個方程，也可以得到旋輪線的參數方程。這個方法雖然簡單，但是卻是一個特殊的方法，只適用于速降線問題，而不能推廣到其他變分問題。

洛必達則使用了一種類似于約翰·伯努利的方法，但是更加直觀和幾何化。他把速降線問題看作是在一個平面上畫一條曲線，使得從這條曲線上任意一點垂直落下的物體所需的時間都相等。他用微積分和幾何法來求解這個條件，得到了一個一階微分方程，再用三角函數來求解這個方程，也可以得到旋輪線的參數方程。這個方法雖然直觀，但是卻是一個特殊的方法，只適用于速降線問題，而不能推廣到其他變分問題。

問題的意義

速降線問題不僅展示了數學家們的智慧和創造力，也促進了數學和物理學的發展。它是變分法的開端，也是最小作用量原理的先驅。它揭示了自然界中存在著一種最優化和最簡化的傾向，也啟發了人們尋找其他類似的極值問題和極值原理。它還表明了數學之間的聯系和統一性，比如微積分、幾何、力學、光學等領域都可以用來解決同一個問題。

它還激發了人們對旋輪線和其他曲線的興趣和研究，比如著名的懸鏈線問題，即在兩個固定點之間懸掛一條均勻柔軟的鏈條或繩子時，它會形成什么樣的曲線？這個問題也可以用變分法來求解，并且得到了一個雙曲正弦函數作為答案。