在一個越來越受數(shù)據(jù)驅(qū)動的世界里，被稱為小波的數(shù)學(xué)工具已經(jīng)成為分析和理解信息不可或缺的方法。許多研究人員以連續(xù)信號的形式接收他們的數(shù)據(jù)，這意味著隨著時間的推移不間斷的信息流，例如地球物理學(xué)家收聽從地下巖層反彈的聲波，或數(shù)據(jù)科學(xué)家研究通過掃描圖像獲得的電數(shù)據(jù)流。這些數(shù)據(jù)可以呈現(xiàn)出許多不同的形狀和模式，因此很難將它們作為一個整體進行分析，也很難將它們拆開研究，但小波可以提供幫助。

小波是不同頻率范圍和形狀的短波振蕩的表示。因為它們可以有多種形式（幾乎任何頻率、波長和特定形狀都是可能的）研究人員可以利用它們來識別和匹配幾乎任何連續(xù)信號中的特定波型。由于小波的廣泛用途，小波已經(jīng)徹底改變了圖像處理、通信和科學(xué)數(shù)據(jù)流中復(fù)雜波現(xiàn)象的研究。

小波的出現(xiàn)是對傅里葉變換這一非常有用的數(shù)學(xué)技術(shù)的一種更新。1807年，約瑟夫·傅里葉發(fā)現(xiàn)，任何周期函數(shù)都可以表示為正弦和余弦等三角函數(shù)的和。這被證明是有用的，因為它允許研究人員將信號流分解成其組成部分，例如，地震學(xué)家可以根據(jù)反射聲波的不同頻率的強度來識別地下結(jié)構(gòu)的性質(zhì)。

因此，傅里葉變換已經(jīng)直接在科學(xué)研究和技術(shù)中得到了許多應(yīng)用。但是小波可以實現(xiàn)更高的精度。這是因為傅里葉變換有一個主要的限制：它們只提供有關(guān)信號中出現(xiàn)的頻率的信息，而不涉及它們的時間或數(shù)量。這就好像你有一個程序來確定一堆現(xiàn)金中有哪些種類的鈔票，而不是每種鈔票實際有多少。

解決這個問題的第一次嘗試來自匈牙利物理學(xué)家丹尼斯·加伯，他在1946年建議在應(yīng)用傅里葉變換之前，將信號切割成短的時間局域段。然而，在頻率分量變化較大的復(fù)雜信號中，這些很難分析。這使得地球物理工程師吉恩·莫雷開發(fā)了時間窗來研究波，時間窗的長度取決于頻率：寬窗用于信號的低頻段，窄窗用于信號的高頻段。

但這些窗口仍然包含了混亂的真實頻率，很難分析。所以莫雷想用數(shù)學(xué)上很好理解的相似波來匹配每一部分。這讓他能夠掌握這些片段的整體結(jié)構(gòu)和時間，并以更準確的方式探索它們。在20世紀80年代早期，莫雷將這些理想化的波浪模式命名為“ondelette”，法語的意思是“小波”。因此，信號可以被分割成更小的區(qū)域，每個區(qū)域以特定的波長為中心，并通過與匹配的小波配對進行分析。回到前面的例子，現(xiàn)在面對一堆現(xiàn)金，我們知道每一種鈔票有多少了。

粗略地說，假設(shè)你在原始信號上滑動一個特定頻率和形狀的小波。每當你有一個特別好的匹配，它們之間的數(shù)學(xué)運算被稱為點積就變成了零，或者非常接近于零。通過用不同頻率的小波掃描整個信號，你可以拼湊出整個信號序列的完整圖像，從而進行徹底的分析。

小波研究發(fā)展迅速。法國數(shù)學(xué)家伊夫·邁耶在復(fù)印機前等著輪到他時，一位同事向他展示了莫雷和理論物理學(xué)家亞歷克斯·格羅斯曼合著的一篇關(guān)于小波的論文。邁耶立刻被迷住了，并乘坐火車去了馬賽，在那里，他開始與格羅斯曼和莫雷以及數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家英格麗德·多貝希斯一起工作。邁耶因為他在小波理論方面的工作而獲得阿貝爾獎。

幾年后，賓夕法尼亞州立大學(xué)研究計算機視覺和圖像分析的研究生馬拉特在海灘上偶遇了一位老朋友。這位朋友是邁耶在巴黎的研究生，他告訴馬拉特他們關(guān)于小波的研究。馬拉特立刻明白了邁耶的工作對他自己研究的重要性，并迅速與邁耶合作。1986年，他們發(fā)表了一篇關(guān)于小波在圖像分析中的應(yīng)用的論文。最終，這項工作導(dǎo)致了JPEG2000的發(fā)展，這是一種在世界各地使用的圖像壓縮形式。該技術(shù)用小波分析掃描圖像的信號，以產(chǎn)生總體上比原始圖像小得多的像素集合，同時仍然允許以原始分辨率重建圖像。當技術(shù)限制限制了非常大的數(shù)據(jù)集的傳輸時，這種技術(shù)被證明是有價值的。

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除了用于分析聲音信號和圖像處理外，小波也是基礎(chǔ)研究的工具。它們可以讓研究人員一次分析整個數(shù)據(jù)集，從而幫助他們發(fā)現(xiàn)科學(xué)數(shù)據(jù)中的模式。