在歐氏幾何中有這么一個(gè)公理：過(guò)直線外一點(diǎn)，只能引一條直線與之平行。那么，能不能過(guò)直線外一點(diǎn)引多條直線與之平行，又或者過(guò)直線外一點(diǎn)不能引直線與之平行？尼古拉·洛巴切夫斯基和雅諾斯·鮑耶獨(dú)立證明了前者，而伯恩哈德·黎曼證明了后者。后來(lái)，黎曼對(duì)這些幾何進(jìn)行了總結(jié)，開(kāi)創(chuàng)了黎曼幾何。

也就是說(shuō)，有三種基本不同的空間表面。有正曲率的曲面，例如球面；有負(fù)曲率的曲面，例如馬鞍面；還有一些曲率為零的曲面，就像一張平坦的紙。當(dāng)時(shí)，黎曼幾何雖然被開(kāi)創(chuàng)出來(lái)，但黎曼也不知道有何作用。

在20世紀(jì)早期，阿爾伯特·愛(ài)因斯坦利用黎曼的度規(guī)張量發(fā)展了廣義相對(duì)論。簡(jiǎn)單地說(shuō)，愛(ài)因斯坦意識(shí)到，用絕對(duì)的方式來(lái)考慮空間和時(shí)間是沒(méi)有意義的。在狹義相對(duì)論中，如果你以接近光速的速度旅行，空間會(huì)沿著你的運(yùn)動(dòng)方向收縮、時(shí)間會(huì)膨脹。然而，狹義相對(duì)論所描述的是一個(gè)沒(méi)有引力的宇宙。

但我們的宇宙確實(shí)有引力。不僅是質(zhì)量的存在，還有所有形式的能量的存在，都會(huì)導(dǎo)致時(shí)空結(jié)構(gòu)以一種特定的方式彎曲。愛(ài)因斯坦花了整整十年的時(shí)間，從1905年到1915年，才在很大程度上依靠黎曼的早期工作，弄清楚如何將引力納入相對(duì)論。

它的非凡之處在于，當(dāng)我們將廣義相對(duì)論的場(chǎng)方程應(yīng)用于我們的宇宙時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)三件事之間存在錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系：宇宙中各種物質(zhì)和能量的總和；在最大的宇宙尺度上，宇宙整體膨脹的速度；以及可觀測(cè)宇宙的曲率。

在熱大爆炸的最初時(shí)刻，宇宙非常熱，非常密集，而且膨脹得非常快。因?yàn)椋趶V義相對(duì)論中，時(shí)空結(jié)構(gòu)本身的演化方式完全依賴于其中的物質(zhì)和能量，所以像這樣的宇宙如何隨著時(shí)間的推移而演化，實(shí)際上只有三種可能性。

第一種可能，如果膨脹率對(duì)于宇宙中物質(zhì)和能量的數(shù)量來(lái)說(shuō)太低，物質(zhì)和能量的聯(lián)合引力效應(yīng)將減緩膨脹，最終導(dǎo)致它停止并反轉(zhuǎn)方向收縮。很快，宇宙就會(huì)在大收縮中坍塌。

第二種可能，如果膨脹率對(duì)于宇宙中物質(zhì)和能量的數(shù)量來(lái)說(shuō)太高，引力不僅無(wú)法阻止和逆轉(zhuǎn)膨脹，甚至可能無(wú)法實(shí)質(zhì)性地減慢它。宇宙失控膨脹的危險(xiǎn)是非常大的，會(huì)使星系、恒星甚至原子的形成成為不可能。

第三種可能，如果膨脹速率和總物質(zhì)和能量密度平衡得恰到好處，宇宙會(huì)永遠(yuǎn)膨脹下去，并形成大量豐富、復(fù)雜的結(jié)構(gòu)。

也就是說(shuō)，相對(duì)于膨脹率而言，物質(zhì)和能量太多的宇宙將具有正曲率，而物質(zhì)和能量太少的宇宙將具有負(fù)曲率，只有平衡的情況下才會(huì)是平的。我們的宇宙的一切都很平衡，因此它是平坦的。我們可以利用宇宙微波背景來(lái)揭示宇宙的曲率。

我們的宇宙在熱大爆炸的早期階段是非常均勻的，但不是完全均勻的，還有一些微小的缺陷：區(qū)域的密度比平均水平略高或略低。這是引力和輻射相互作用的結(jié)果，前者優(yōu)先吸引物質(zhì)和能量到密度較大的區(qū)域，而后者則反過(guò)來(lái)推動(dòng)物質(zhì)。結(jié)果，我們得到了一組溫度波動(dòng)的模式，這些模式被印在了可觀察到的輻射中，這就是大爆炸留下的宇宙微波背景。

這些溫度的波動(dòng)在特定的距離尺度上有一個(gè)范圍。在一個(gè)平坦的宇宙中，這些尺度呈現(xiàn)原樣，而在一個(gè)彎曲的宇宙中，這些尺度會(huì)顯得更大(正曲率的宇宙中)或更小(負(fù)曲率的宇宙中)。根據(jù)我們從普朗克衛(wèi)星和其他來(lái)源觀測(cè)到的宇宙背景輻射溫度波動(dòng)的大小，我們可以確定宇宙不僅是平坦的，而且其平坦度至少達(dá)到 99.6%。