如果你曾經(jīng)在極坐標(biāo)系下推導(dǎo)行星在牛頓引力下的方程，你會得到：

其中L和E分別是行星的角動量和能量，利用以下這個(gè)等式可以消去t：

可以得到軌道方程：

等式兩邊對θ進(jìn)行微商，得到：

把1/r看成一個(gè)整體，我們就可以解出這個(gè)常規(guī)的微分方程，得到軌道方程。

廣義相對論中的行星軌道

廣義相對論中的能量守恒、角動量守恒與牛頓力學(xué)不同，此外還有一個(gè)四速歸一化條件：

其中我們采用了光速c=1的自然單位制度，τ是固有時(shí)。我們可以利用同樣的技巧消去dτ，等到方程：

同樣等式兩邊對θ進(jìn)行微商，得到：

在天文學(xué)的精確測量之下，我們知道行星的軌道并不是像牛頓力學(xué)預(yù)測的那樣封閉的，在太陽系中水星的近日點(diǎn)進(jìn)動效應(yīng)最為顯著。每一百年水星的近日點(diǎn)進(jìn)動5600''，扣除掉歲差和其它行星攝動的影響，牛頓力學(xué)預(yù)測的進(jìn)動值與真實(shí)值還差43''。

廣義相對論結(jié)果相比牛頓結(jié)果，多了一個(gè)附加項(xiàng)3GM/r，而這一項(xiàng)正是廣義相對論效應(yīng)的體現(xiàn)，可以看成是牛頓理論的廣義相對論修正項(xiàng)。也正是有了這一項(xiàng)，讓我們可以解釋43''的差距。感興趣的同學(xué)可以自行解這個(gè)難度較大的非線性微分方程，然后就可以得到真正的軌道方程，代入數(shù)據(jù)就可以得到進(jìn)動值。