一個未拉伸的彈簧，一端固定在墻壁上，另一端系著一個質量為m的塊狀物體。如果我們拉動這個彈簧塊并將彈簧延長一定距離x，彈簧會對質量塊施加恢復力F，試圖使質量塊恢復到平衡位置。我們會發現，恢復力F與伸長量x成正比我們可以將其寫成：

其中負號代表伸長量與恢復力的方向相反。

我們可以通過引入比例常數k來將關系轉換為等式，這個常數k也被稱為彈簧系數，是衡量彈簧剛度的一種量度。

考慮一下，如果把彈簧拉長后釋放會出現怎樣的情況？根據牛頓第二定律，彈簧力會導致質量加速，因此我們可以用ma代替彈簧力F，并重新排列成如下公式：

上面這個公式實際上描述了一種特殊的運動類型：簡諧運動，它是宇宙中各種振動的核心，為了更深入了解這個公式，我們將其寫為二階微分形式。

因此，結合加速度的二階形式與胡克定律，我們就有了以下公式：

這個微分方程描述了彈簧的位移隨時間的變化，我們知道它的解為：

然后，我們再將其兩次微分后代入微分方程中：

因此，我們可以得到該系統的圓頻率或周期：

我們還關心系統的總能量，它等于動能和勢能之和，可以列出下式：

注意到ω與k的關系k=mω^2，我們可以得到總能量的公式：

(www.ws46.Com)

到目前為止，這些都是些典型的推導，相信大家都已經滾瓜爛熟了。接下來，我們將把量子力學加上去。

零點能量

真空中的最低能量稱為零點能量，量子力學認為它非零，它是不確定性原理所要求的最小值。不確定性原理認為，我們不能同時精確地測量粒子的動量和位置，它的公式如下：

以彈簧系統為例，如果彈簧未伸展且處于靜止狀態，那么我們就精確地知道它的位置和它的動量，顯然與不確定性原理相悖，所以量子彈簧存在最低能量的振蕩。為了計算彈簧系統的最低能量，我們需要對能量公式進行些微修改：

我們將上式中能量E替換成ΔE，動量p替換成Δp，x替換成Δx，代入不確定性原理的公式中：

由于能量不隨x的變化而變化，所以我們有：

我們可以得到：

把它重新代入方程并簡化，得到：

因此，我們可以得到量子振蕩器的最低能量為：

卡西米爾效應

簡單來說，在真空中的兩片不帶電金屬板之間會產生吸力，這就是卡西米爾效應。量子場論認為，空間中都是振動的場，這些振動的場在金屬板之間要滿足邊界條件，只有駐波才能存活下來。也就是說，只有整數倍波長等于板間距L的才能存活(nλ=L)，其中n為整數，寫成公式如下：

把所有這些波長的能量都相加起來，就有：

現在，問題就變成所有自然數之和等于多少了？我們經常在網上看到一個奇怪的結果，很多人都說它是不對的，實際上它來自數學家拉馬努金：

問：我們是否可以把它帶進去呢？這里就留給你們思考，請留下你的評論。