假設我們有一個粒子，從A點運動到B點，到達那里的路徑是什么？牛頓力學給了我們一種回答這個問題的方法，但是牛頓方法應用到向量，如果在多粒子情況下，計算將變得非常復雜。在18世紀拉格朗日和其他人提出了一個不同的建議，他們為每條可能的路徑分配了一個稱為作用量的數字，然后證明了粒子所遵循的軌跡實際上是作用量最小化的軌跡。

牛頓力學

牛頓告訴我們，要回答這個問題，我們應該寫下粒子上的所有力，然后讓它等于質量乘以加速度。此外，我們也知道了力是勢能U的導數關系，結合這兩個式子，可以得到一個全新的公式，寫下來就是：

在拉格朗日的方法中，我們將定義一個拉格朗日量L，其值為動能減去勢能，如下說所示：

粒子有非常多條可能的軌跡，但我們要尋找的是使作用量S最小化的軌跡（實際上最大化也可以），它才是粒子的真實軌跡。

擴展第一項，并略去高階小量：

于是，我們重寫擴展后的拉格朗日量：

那么，在極限的情況下，我們就希望作用量ΔS=0：

雖然它的軌跡添加了一些微小的擺動ε，但是起點和終點的是固定的，也就是說ε=0，所以這一項就等于零了。因此，我們就剩下后一項為零：

這正是之前從牛頓力學推導出的方程。此外，由于有以下關系：

這就是我們所熟悉的歐拉-拉格朗日方程，在求解多粒子系統的某些情況下，比直接使用牛頓力學更好用。www.ws46.com