傅里葉級數是一種將周期函數表示為一個無限和的形式，其中每一項是一個正弦函數或余弦函數的線性組合。它由法國數學家約瑟夫·傅里葉（1768-1830）于19世紀初提出，被廣泛應用于工程、科學、計算機科學等領域。本文將從傅里葉級數的定義、性質、計算方法以及應用等方面進行詳細介紹。

1. 傅里葉級數的定義

設f(x）是周期為2L的函數，用傅里葉級數表示為：

f(x)\sim\frac{a_0}{2} \sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos\frac{n\pi}{L}x b_n\sin\frac{n\pi}{L}x)

其中，a_0,a_n,b_n為傅里葉系數，可以由下式求得：

a_0=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)dx

a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos{\frac{n\pi}{L}x}dx , n=1,2,3...

b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin{\frac{n\pi}{L}x}dx , n=1,2,3...

這就是傅里葉級數的定義式。其中，a_0表示函數f(x）的平均值，a_n和b_n（n≥1）是表示函數f(x）中sin(nx/L) 和cos(nx/L)的系數。傅里葉級數的本質是將周期為2L的函數表示為無限個正弦函數的和，其中每個正弦函數都具有不同的振幅和頻率。

2. 傅里葉級數的性質

傅里葉級數有很多重要的性質，其中一些重要的性質如下：

（1）線性性：如果f(x）和g(x）都是周期為2L的函數，那么它們的和或差的傅里葉級數等于它們分別的傅里葉級數之和或差。

（2）對稱性：如果函數f(x）是一個偶函數，那么它的傅里葉級數只含有cos函數，即b_n=0; 如果函數f(x）是一個奇函數，那么它的傅里葉級數只含有sin函數，即a_n=0。

（3）能量守恒：對于周期函數f(x），其總能量等于所有傅里葉系數的平方之和，即\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f^2(x)dx=\frac{a_0^2}{4} \sum_{n=1}^{\infty}(a_n^2 b_n^2)。

（4）Parseval恒等式：設f(x）和g(x）都是周期為2L的函數，則有：

\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)g(x)dx=\frac{a_{0}^{'}}{2} \sum_{n=1}^{\infty}(a_n^{'}cos\frac{n\pi}{L}x b_n^{'}sin\frac{n\pi}{L}x)

其中，f(x)的傅里葉系數為a_n，b_n； 而g(x)的傅里葉系數為a_n'，b_n'。也就是說，兩個周期函數乘積的積分等于它們在各個正弦函數和余弦函數下的系數積之和。

（5）收斂性：傅里葉級數收斂于原函數在定義域內的點值，但可能有點處并不收斂，這種現象稱為該函數在此點不連續。

3. 傅里葉級數的計算方法

傅里葉級數的很多計算方法已經被發展出來，其中最常用的方法是求傅里葉系數的積分方法和基于傅里葉變換的方法。

（1）積分計算法

通過計算f(x）的傅里葉系數a_n和b_n，可以使用定義式進行求解：

a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos{\frac{n\pi}{L}x}dx , n=1,2,3...

b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin{\frac{n\pi}{L}x}dx , n=1,2,3...

但是，解析求出傅里葉系數并不容易，因此，許多數值方法被使用來近似計算傅里葉系數。其中最常用的方法是離散傅里葉變換（DFT）和快速傅里葉變換（FFT）。

（2）傅里葉變換

傅里葉變換是傅里葉級數的一個擴展，它可用于非周期函數的分析，通過傅里葉變換，我們可以將某個函數在時域上的表達轉化為在頻域上的表達，并計算出它在不同頻率下的特征。過程相當于將非周期信號分解成一組不同振幅、不同相位、不同頻率的正弦余弦基函數的線性組合。傅里葉變換的具體計算方法是將頻域中的權系數（包括頻率、時間和幅值）與函數的積分進行計算。

4. 傅里葉級數的應用

傅里葉級數應用廣泛，被廣泛地應用于工程、科學、計算機科學等領域。

（1）信號處理：頻譜分析是信號處理中最常用的應用之一。通過將信號表示為傅里葉系數，可以確定信號的頻域特征，從而進一步進行濾波、調制等操作。

（2）圖像處理：圖像通常被表示為二維矩陣，每個像素點可以被看作周期為1的函數，使用二維傅里葉級數可以將圖像分解為一組基函數，從而進行圖像增強，如去噪、銳化、增強輪廓等操作。

（3）量子力學：量子力學中的能量本征值問題中也用到了傅里葉級數。波函數在空間中的展開，可以用傅里葉級數表示其中的特定能量本征狀。

（4）計算機科學：流行的數據壓縮算法（如MP3、JPEG等）中也利用了傅里葉級數。在MP3中，音頻信號被分解為多個不同的頻帶，然后每個頻帶都可以用傅里葉級數來表示；在JPEG中，圖像同樣被分解為一組正弦和余弦函數的和。

（5）物理學：在物理學的很多領域（如熱力學、光學、震動學和電磁學等）中都需要使用傅里葉級數。例如，熱力學中的熱傳導方程可以通過傅里葉級數得到其解析解，從而了解熱傳導的規律。