三角形是由三條線段相交而成的平面圖形，重心是三角形內部一個特殊的點，它是三角形三條中線的交點，也是三角形重心定理的一個重要應用。在三角形的許多問題中，重心都是一個重要的概念，它不僅可以用于求解三角形的面積、周長、內切圓半徑等問題，還可以應用于許多實際問題中。

一、三角形重心定理

在三角形ABC中，設M、N、P分別為BC、CA、AB三邊的中點，G為三角形ABC的重心，則有以下三角形重心定理：

1. 重心到頂點的距離是其他兩個頂點到重心距離的平均值，即：

AG = (BG CG) / 2

BG = (AG CG) / 2

CG = (AG BG) / 2

2. 重心到三角形三邊的距離成比例，即：

AG : GM = BG : MN = CG : NP = 2 : 1

3. 三角形三個頂點與重心的連線交于一點，即：

AM、BN、CP三線交于一點G。

二、三角形重心的求法

1. 通過中線求重心

在三角形ABC中，連接BC的中點M、AC的中點N、AB的中點P，將三條中線交于一點G，則G為三角形ABC的重心。

證明：設三角形ABC的重心為G，連接AG、BG、CG，交BC、CA、AB于點M、N、P，則有：

AG : GM = 2 : 1

BG : GN = 2 : 1

CG : GP = 2 : 1

因此，可以得到：

GM GN GP = AG BG CG = 3AG

即：

AG = (GM GN GP) / 3

同理，可以得到：

BG = (GM GN GP) / 3

CG = (GM GN GP) / 3

因此，三角形的重心G是三條中線的交點。

2. 通過向量求重心

在三角形ABC中，設三個頂點的坐標分別為A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)，則可以使用向量的方法求解三角形的重心。

設向量AG、BG、CG分別為：

AG = (x1 x2 x3, y1 y2 y3)

BG = (x1 x2 x3, y1 y2 y3)

CG = (x1 x2 x3, y1 y2 y3)

則三角形ABC的重心為：

G = (1/3)(x1 x2 x3, y1 y2 y3)

證明：設三角形ABC的重心為G，向量AG、BG、CG分別為a、b、c，則有：

a = (x1 x2 x3, y1 y2 y3)

b = (x1 x2 x3, y1 y2 y3)

c = (x1 x2 x3, y1 y2 y3)

因此，向量AG、BG、CG的平均值為：

(a b c) / 3 = (3x1 3x2 3x3, 3y1 3y2 3y3) / 3

= (x1 x2 x3, y1 y2 y3)

因此，三角形的重心G是向量AG、BG、CG的平均值。

三、三角形重心的應用

1. 求解三角形的面積

在三角形ABC中，設三個頂點的坐標分別為A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)，則可以使用向量的方法求解三角形的面積。

設向量AB、AC分別為：

AB = (x2 - x1, y2 - y1)

AC = (x3 - x1, y3 - y1)

則三角形ABC的面積為：

S = 1/2 |AB × AC|

其中，|AB × AC|表示向量AB和向量AC的叉積，其大小等于向量AB和向量AC所圍成的平行四邊形的面積。

證明：設三角形ABC的面積為S，向量AB、AC分別為a、b，則有：

S = 1/2 |AB × AC|

= 1/2 |a × b|

= 1/2 |(x2 - x1)(y3 - y1) - (y2 - y1)(x3 - x1)|

因此，可以通過向量的方法求解三角形的面積。

2. 求解三角形的內切圓半徑

在三角形ABC中，設三邊長分別為a、b、c，半周長為s，則可以使用以下公式求解三角形的內切圓半徑r：

r = S / s

其中，S為三角形的面積，s為三角形的半周長。