如圖,在三角形ABC中,∠ACB＝90°,∠CAD＝30°,AC＝BC＝AD,求證：CD＝BD


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[思路導航] 問題分析，要證線段相等，掌用的方法有：
證明角相等，三角形中等角對等邊
證明所在的兩個三角形全等
證明是線段垂直平分線上的點
三角函數(shù)值法
將已知標示如下：


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方法一、先從30°三角形入手、構(gòu)造直角三角形利用相關(guān)條件證明
證明：如圖，作CP⊥AD，DQ⊥BC，垂足分別為P、Q


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∵AC＝AD
∴∠ACD＝(180°－30°)/2=75°
又∵在Rt△PCA中∠CAP=30°
∴∠ACP＝60°
∴∠PCD=75°－60° ＝15°
∵∠ACB=90°
∴∠BCD=90°－75°＝15°
在Rt△PCD與Rt△QCD中
∠CPD＝∠CQD
∠PCD＝∠QCD
CD＝CD
∴Rt△PCD≌Rt△QCD（AAS）
∴CQ＝PC
∵∠CAD=30°
∴PC＝AC/2
又∵AC＝BC
∴CQ=BC/2
∴DQ是BC的垂直平分線
∴CD=BD
小結(jié)：此方法為從已知出發(fā)，根據(jù)等腰、直角、30°等條件構(gòu)造特殊三角形 。
方法二：結(jié)合題目中AC⊥BC，30°角，利用矩形知識，直接考慮證明D是線段BC垂直平分線上的點
證明：如圖，過D作DN⊥BC，AM⊥AC，AM與ND延長線交于M


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∵∠ACB＝90°
DN⊥BC，AM⊥AC
∴四邊形AMNC是矩形
∴MN//AC
CN＝AM
∵∠CAD＝30°
∴∠ADM＝30°
∵△AMD是 Rt△
∴AM＝AD/2
又∵AC=BC=AD
∴CN＝BC/2
∴MN是線段BC的垂直平分線
∴CD=BD
小結(jié)：向外作輔助線難度較大，當有直角三角形時，我們將它和對應的正方形（或矩形）聯(lián)系起來思考，“補全圖形”，如圖（2）可以讓”向外”的方法變得習慣起來 。


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方法三：根據(jù)已知的”各角度數(shù)”向內(nèi)作等邊三角形構(gòu)造全等
證明：如圖，在△ACD內(nèi)以CD為邊，向內(nèi)作等邊△CDE


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在△AEC和△AED中
AC＝AD
AE＝AE
CE＝DE
∴△AEC≌△AED（SSS）
∴∠CAE＝∠DAE＝30°/2=15°
∵AC=AD
∴∠ACD＝(180°－30°)/2=75°
∵∠ECD=60°
∴∠ACE=75°－60°＝15°
∵∠ACB=90°
∴∠BCD=∠ACB－∠ACD -90°－75°＝15°
在△AEC和△BDC中
CE＝CD
∠ACE＝∠BCD
AC＝BC
∴△AEC≌△BDC（SAS）
∴∠CBD＝∠CAE＝15°
∴∠CBD＝∠BCD
∴CD＝BD


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【在三角形ABC中∠ACB＝90°∠CAD＝30°AC＝BC＝AD答案解析】小結(jié)：以已知線段為邊作等邊三角形也是幾何題中常用的方法，當圖形中出現(xiàn)一系列特殊角度時，我們可以考慮作等邊（或等腰）三角形的方式，出現(xiàn)等角將已知和所求聯(lián)系起來 。