高斯公式推導(dǎo)（高斯定理的推導(dǎo)（考研黨速來(lái)看））

大學(xué)物理電場(chǎng)學(xué)里面有個(gè)高斯定理，講的是靜電場(chǎng)的電場(chǎng)特性，定理是這樣描述的：靜電場(chǎng)中任意封閉曲面的電場(chǎng)通量與曲面所包圍的電荷的代數(shù)和成正比，與曲面的形狀無(wú)關(guān)，與曲面內(nèi)電荷的分布無(wú)關(guān)，與曲面外的電荷無(wú)關(guān)，這里的電場(chǎng)通量以曲面外側(cè)為正方向，簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，就是穿出封閉曲面的電場(chǎng)線數(shù)量減穿入曲面的電場(chǎng)線數(shù)量就是電場(chǎng)通量，如果封閉曲面內(nèi)無(wú)電荷，那么電場(chǎng)通量就是0，高斯定理在靜電場(chǎng)分析中具有重要作用。

高斯畫像

高斯定理圖片描述

上圖畫出來(lái)一靜電場(chǎng)中的一封閉曲面，黑線為電場(chǎng)線，紅線為封閉曲面，可以看到，當(dāng)封閉曲面內(nèi)無(wú)電荷時(shí)，只要穿入曲面的電場(chǎng)線都會(huì)穿出曲面，因此電場(chǎng)通量為0。這里我用數(shù)學(xué)的方式來(lái)推導(dǎo)高斯定理，涉及到高等數(shù)學(xué)的高斯公式，考研的同學(xué)不要錯(cuò)過(guò)哦，這是考研數(shù)學(xué)的一個(gè)重要應(yīng)用。下面我來(lái)慢慢分析。

單連通區(qū)域

這里要講什么叫單連通區(qū)域，意思是空間中一封閉曲面包圍的區(qū)域完全是實(shí)心的，不存在任何空洞，講高斯公式會(huì)用到單連通區(qū)域。高斯公式是這樣描述的：一空間區(qū)域Ω由分塊光滑封閉曲面所圍成，函數(shù)P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在Ω內(nèi)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，意思就是單連通區(qū)域，以曲面外側(cè)為正方向，那么高斯公式如下圖所示：

高斯公式

高斯公式將曲面積分轉(zhuǎn)換為簡(jiǎn)單三重積分，簡(jiǎn)化來(lái)計(jì)算過(guò)程，假如空間區(qū)域不是單連通區(qū)域，而有空洞，那么稱之為復(fù)連通區(qū)域，如圖，

復(fù)連通區(qū)域

那么此時(shí)空間區(qū)域Ω由外面的曲面和內(nèi)部的曲面包圍而成，外面的曲面取外側(cè)為正方向，里面的曲面取內(nèi)側(cè)為正方向，設(shè)外面的曲面為S，里面的曲面為S1，S2……Sn，那么復(fù)連通區(qū)域的高斯公式如下：

復(fù)連通區(qū)域高斯公式

好了，高斯定理講了這么多，大家覺得還是很抽象吧，不好理解，沒(méi)錯(cuò)，光是看這些數(shù)學(xué)的語(yǔ)言確實(shí)很難理解，但是接下里我用高斯公式推導(dǎo)高斯定理，大家就會(huì)比較容易理解了。高斯定理的推導(dǎo)先從點(diǎn)電荷入手，設(shè)空間中一個(gè)電荷量為q的點(diǎn)電荷，如圖所示：

點(diǎn)電荷電場(chǎng)

以點(diǎn)電荷為原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系，根據(jù)點(diǎn)電荷電場(chǎng)強(qiáng)度公式E=Kq/r，可以得到空間中(x,y,z)坐標(biāo)處的電場(chǎng)強(qiáng)度:

這里的i,j,k分別是x,y,z方向的單位向量，在點(diǎn)電荷電場(chǎng)中，我們要求任意包圍電荷封閉曲面S1的電場(chǎng)通量，S1包圍的區(qū)域并非單連通區(qū)域，因?yàn)樵谠c(diǎn)處電場(chǎng)強(qiáng)度無(wú)定義，此時(shí)構(gòu)造一個(gè)足夠小的曲面S2，它是以原點(diǎn)為球心的球面，半徑r，在S1內(nèi)部，在此時(shí)S1與S2之間的區(qū)域就是單連通區(qū)域，命名為Ω，那么：

通過(guò)上面的推導(dǎo)過(guò)程，我們可以得到，包圍點(diǎn)電荷的閉合曲面電場(chǎng)通量為4πKq，那么同樣當(dāng)點(diǎn)電荷在曲面外面時(shí)可以很容易推出電場(chǎng)通量為0。那么如何推導(dǎo)到一般的情況呢，如果空間的電荷不是點(diǎn)電荷，那怎么辦呢？這時(shí)，可以采用線性疊加法，將一般的電荷看成很多的點(diǎn)電荷的集合，分別處理，然后將結(jié)果疊加。假設(shè)空間中有一分塊光滑封閉曲面S，里面有n個(gè)點(diǎn)電荷，電荷分別為q1,q2….qn,曲面外有m個(gè)點(diǎn)電荷，電荷分別為q(n+1)…q(n+m),假設(shè)有個(gè)點(diǎn)電荷為q(a),它在空間產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為

由于電場(chǎng)可以線性疊加，所以空間中(x,y,z)處的電場(chǎng)強(qiáng)度為：

所以閉合曲面的電場(chǎng)通量為：

好了，高斯定理已經(jīng)完全推導(dǎo)出了，所以說(shuō)，微積分是數(shù)學(xué)中非常重要的內(nèi)容，我們現(xiàn)實(shí)當(dāng)中無(wú)處不存在數(shù)學(xué)，喜歡大家都能喜歡上數(shù)學(xué)。