平均數的認識

一．概念描述

現代數學：平均數分為算術平均數、加權平均數、幾何平均數、調和平均數、指數平均數和平方平均數等。在小學數學中常用的平均數主要是算術平均數和加權平均數，它們都是統計學的基本概念，因常用于計算樣本的集中趨勢，所以也分別叫作樣本算術平均數（值）和樣本加權算術平均數（值）。

小學數學：小學數學教材中沒有明確給出平均數的定義，主要通過“總數除以總份數所得的結果就是平均數”進行過程性定義，重點在于讓學生掌握計算平均數的方法，并能結合實際問題進行分析，感受平均數的價值。

二．概念解讀

(1)平均數與中位數和眾數

平均數在數據分析的過程中發揮著重要的作用，與中位數和眾數有著密切的聯系。在日常學習和生活中處理的數據大部分是對稱的數據，數據符合或者近似符合正態分布，這時平均數、中位數和眾數是一樣的。如果數據偏態分布， 三者才會有所區別。

平均數易受極端數據的影響，但是與中位數和眾數相比，平均數能更多地利用所有數據的信息。另外，還有一個原因：假設x和y的平均數為a，利用中學的知識可以證明a是與x，y這兩個數據差的平方和達到最小的實數，即對任意的實數有（x-a）2+（y-a）2≤（y-b）2(a≠b)。這說明平均數使平方和達到最小，也就是說用平均數代表數據，可以使二次損損失最小。而利用中位數和眾數，可以使一次損失（誤差絕對值的和）最小。

(2)算術平均數與加權平均數

過去小學數學把算術平均數叫作“簡單平均數”，把加權平均數叫作“較復雜的平均數”。在小學階段，權重主要指數據出現的頻率。如果一組數據中每個數據都只出現一次，也就是每個數據的重要性相同，則計算的結果為算術平均數。所謂加權平均數，是指各個數據的“分

量”不同，有的重要些，有的輕些，將它們的重要性用權重表示，即一組數據中每個數據出現的次數不止一次，則計算出的平均數就是加權平均數。例如：

①每千克奶糖15元，每千克水果糖10元，每千克巧克力糖20元，三種糖各1千克混合在一起，平均每千克多少元錢？

(15+10+20)÷3=15（元）

由于每種糖都是1千克，所以只需要簡單求和然后除以總質量，所得結果就是算術平均數。

②每千克奶糖15元，每千克水果糖10元，每千克巧克力糖20元，將2千克奶糖，3千克水果糖和5千克巧克力糖混合在一起，平均每千克多少元錢？

(15x2+10x3+20x5)÷(2+3+5)=16（元）

由于每種糖所占的比重不相同，在計算平均數時就要加以考慮，所以按這種方法計算的結果就是加權平均數。

三．教學建議

平均數是小學數學中的教學內容，新課程改革明確“平均數”不再是單純的應用題的類型之一，而是“作為一種統計量”。因此，在傳統教學強例平均數計算意義的基礎上，教師應進一步突出概念意義和統計意義。

(1)經歷所平均數產生的過程，感受平均數的作用

平均數作為一種重要的統計量，如何讓學生體會到它在統計中的作用呢？吳正憲老師在執教“平均數”一課時，巧妙地運用拍球比賽這一學生喜聞樂見的游戲形式，調動了游戲規則的生活經驗，學生一個“不公平！”，否定了人數不同比拍球總個數定輸贏的方法?！斑@可怎么辦呢？”隨著吳老師的追問，一個胖胖的小男孩站起來伸開雙臂，結結巴巴地說：“把這兒個數勻乎勻乎，看看得幾，就能比較出來了。”吳老師對這個小男孩兒贊賞不已。是呀， 一個“勻乎勻乎”就使平均數應運而生了。

(2)通過具體數據分析，加深對平均數概念意義的理解

平均數本身是不能孤立存在的，因此要加強原始數據和平均數的溝通，通過建立聯系讓學生感受平均數的特點，加深對概念意義的理解。下面這個經典案例同樣出現在吳正憲老師的課堂上：

“前三次小紅和小亮分別平均每人打兒環？可以怎么算呢？”（如下表）很多學生用打中總環數除以射擊次數，有個別學生想出了移多補少的方法。吳老師評價：“這樣的方法真好，一下子就讓我們看到了平均數真的能代表這些數據的水平！”吳老師繼續提問：“小紅第4槍打了7環，小強第4槍打10環，打了第4槍后，會不會影響前三次的平均數？”經過一系列的思考，學生感受到加入一個數據以后，會對原平均數產生影響，感受到平均數和一組數據中每個數據有關的特點。

(3)結合具具體問題情境，客觀理解平均數的統計意義

統計和生活緊密相關，在利用平均數分析問題時要和生活緊密聯系，以凸顯平均數的統計意義。王杰老師在執教“平均數”一課時，設計了這樣一個問題：周一至周五高峰時，平均每小時通過1號橋的車輛為1756輛，通過2號橋的車輛為965輛（兩個橋的跨度等條件差不多），那么駕車走哪條路會比較通暢？為什么？學生對此意見不同，展開爭論。最后王老師總結：平均數可以作為參考，但是它反映的只是一般情況，并不能反映出某種特殊情況。在這個過程中，學生既可以體會到平均數的意義，又可以體會到數據的隨機性。

四．推薦閱讀

(1)《小學數學研究》（張奠宙等，高等教育出版社，2009）

該書第220-222頁論述了加權平均數的作用和價值，以及與算術平均數的聯系和區別。

(2)《吳正憲的兒童數學教育》（周玉仁、楊文榮，北京師范大學出版社，2010）

該書中的一些案例生動、具體，本詞條引用的案例主要來自該書。

(3)《回歸平均數的統計意義》（曹培英，《小學數學教師》，2011年第7-8期）

該文從平均數歷史回顧、練習的審視、新設計關注點等幾個角度詳細進行了介紹，對廣大一線教師有一定的指導意義。