線性代數(shù)的秘密：矩陣的特征值怎么求？

說起矩陣的特征值，需要講的東西實(shí)在是太多太多才能獲其精髓，我今天只教大家如何計(jì)算特征值，之后再說特征值的意義是什么吧。

今天我就打算講明白這一個(gè)公式，它非常重要，希望大家牢記，我們以后會(huì)經(jīng)常提到：

話不多說，讓我們開門見山：

有請我們的老朋友

如何求這個(gè)矩陣的特征值呢？

直接代入上面那個(gè)公式，就可以得到：

化簡可得：

我們發(fā)現(xiàn)，我們的明星矩陣有兩個(gè)不同的特征值，而且都不為0。

而

我們再試幾個(gè)：

這個(gè)矩陣12 36 成比例，秩明顯是1

這個(gè)矩陣的rank明顯是1，不滿秩。

我們發(fā)現(xiàn)，不滿秩的矩陣雖然也有兩個(gè)不同的特征值，但有一個(gè)特征值是0，有一個(gè)不為0。

我們再看一個(gè)三階的：

先看一下它的秩是多少？

用第三行減第一行，第三行變成0，第二行減第一行，第二行也變?yōu)?，然后只留下第一行沒辦法變了，這就是最簡形式，它的秩是1。

我們繼續(xù)代入之前那個(gè)公式看一下效果：

這個(gè)秩為1的矩陣，居然只有一個(gè)非零的特征值3。還需強(qiáng)調(diào)一下，我們這里只研究方塊矩陣的特征值，因?yàn)樗臀覀兊?strong>物理學(xué)，工程學(xué)息息相關(guān)，具有現(xiàn)實(shí)意義（這一次我先不講，比如自然界中物體的本征頻率就和特征值有關(guān)系）如果沒有實(shí)際意義的話，我想也不會(huì)有人愿意研究它。

你學(xué)會(huì)計(jì)算矩陣的特征值了嗎？特征值和矩陣的秩又有什么關(guān)系呢？歡迎大家思考后留言討論。