導(dǎo)讀出品：科普中國(guó)制作：中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院黃逸文監(jiān)制：中國(guó)科學(xué)院計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)信息中心一、圓周率π級(jí)數(shù)表達(dá)公式自古以來(lái)，人們就癡迷于如何計(jì)算圓的周長(zhǎng)。以....

出品：科普中國(guó)

制作：中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院 黃逸文

監(jiān)制：中國(guó)科學(xué)院計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)信息中心

一、圓周率π級(jí)數(shù)表達(dá)公式

自古以來(lái)，人們就癡迷于如何計(jì)算圓的周長(zhǎng)。以拉丁字母π標(biāo)記的圓周率，其定義就是一個(gè)圓的周長(zhǎng)相對(duì)于其直徑的比。盡管圓是如此地簡(jiǎn)單和完美，在生活中更是有舉足輕重的應(yīng)用，但是眾多先賢對(duì)計(jì)算π的精確值卻一籌莫展。

早在古希臘時(shí)期，主流的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派就認(rèn)為世界上所有的數(shù)都是有理數(shù)。具有諷刺意義的是，無(wú)理數(shù)正是畢達(dá)哥拉斯的弟子所發(fā)現(xiàn)，因?yàn)楹椭髁魉枷胂嚆＃罱K被其學(xué)派迫害身亡。然而對(duì)是有理數(shù)還是無(wú)理數(shù)的爭(zhēng)論，以及如何簡(jiǎn)單便捷地計(jì)算出的具體值卻困擾了人們1000多年。

這個(gè)公式是由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)。該公式由5個(gè)數(shù)學(xué)上最簡(jiǎn)單的符號(hào)組成，它通過(guò)3種基礎(chǔ)運(yùn)算，即加法、乘法和冪運(yùn)算就將1、0、、i和e這五個(gè)數(shù)學(xué)中最重要的數(shù)字聯(lián)系在了一起，堪稱天才的完美之作。

它是數(shù)學(xué)與世界之間兼具理性色彩與深邃之美的巔峰之筆。它是純粹的數(shù)學(xué)之美，淋漓盡致地展現(xiàn)出數(shù)學(xué)作為跨文化、跨種族的通用語(yǔ)言的簡(jiǎn)單與和諧，讓人們得以一窺數(shù)學(xué)穿越宇宙時(shí)空通行無(wú)礙的完美特性。

三、傅里葉級(jí)數(shù)

特別的，對(duì)以【-π，π】為周期的可微分函數(shù)f(x)有如下的無(wú)窮級(jí)數(shù)表達(dá)式：

1807年，法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉發(fā)現(xiàn)任何可微分的函數(shù)都可以用正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的加和表示出來(lái)，不論原始函數(shù)的圖形多么詭異，這種表示都可以達(dá)到任意需要的精度。

透過(guò)傅里葉發(fā)明的數(shù)學(xué)工具，數(shù)學(xué)分析領(lǐng)域進(jìn)入了全新的時(shí)代。從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看，傅里葉的定理告訴我們，任何曲線不論其本質(zhì)如何，都可以用數(shù)不盡的簡(jiǎn)單曲線加以取代，或者說(shuō)，所有曲線都可以用堆疊波紋的方式加以呈現(xiàn)。這提供了人們認(rèn)識(shí)事物的極為強(qiáng)有力的工具。

時(shí)至今日，世界上很多領(lǐng)域都受益于傅里葉級(jí)數(shù)的應(yīng)用。從震蕩分析到影像處理，從激動(dòng)人心的音樂(lè)創(chuàng)作到信息時(shí)代大放異彩的通訊技術(shù)，到處都有傅里葉級(jí)數(shù)的蹤跡。甚至人們可以通過(guò)遙遠(yuǎn)星空所發(fā)出的光就能分析所在星球的化學(xué)成分，歷史上人們就是通過(guò)光的頻譜分析才逐步認(rèn)識(shí)到太陽(yáng)發(fā)光發(fā)熱的秘密等等。這一切，都是傅里葉級(jí)數(shù)的應(yīng)用帶給世界文明的饋贈(zèng)。

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