三體問題是一個歷史悠久而富有挑戰性的物理問題，它既有理論上的重要性，也有實際上的應用價值。例如，在天文學中，我們可以用三體模型來描述太陽系中的一些現象。在原子物理學中，我們可以用三體模型來分析氫原子或其他簡單分子的結構和能級。在化學和生物學中，我們可以用三體模型來研究分子間的相互作用和反應動力學。

三體問題最簡單的情況是自由落體問題，即假設三個質點只受到彼此之間的萬有引力，并且沒有其他外力作用。這個問題雖然看起來很簡單，但是卻沒有一般的解析解。只有在一些特殊情況下，我們才能找到一些精確或近似的解。例如，在兩個質點遠大于第三個質點時，我們可以用攝動理論來求解；在兩個質點相等時，我們可以用拉格朗日或雅可比坐標系來簡化問題；在三個質點都相等時，我們可以用中心坐標系來對稱化問題。(www.ws46.coM)

在這些特殊情況下，我們最感興趣的是周期性無碰撞軌道，即滿足以下條件的軌道。周期性：經過一個固定的時間周期T后，三個質點回到初始位置（或者相差一個剛體旋轉）；無碰撞：在一個周期內，任何兩個質點之間的距離都不為零，即沒有發生碰撞。

周期性無碰撞軌道是三體系統的一種穩定狀態，它可以反映系統的一些基本性質，如能量、角動量和形狀。周期性無碰撞軌道也可以作為三體系統的一個基本構件，用來構造更復雜的軌道，如混沌軌道或擬周期軌道。

三體無碰撞等質量自由落體問題的歷史可以追溯到19世紀末，當時莫爾發現了一個著名的八字形軌道，它是一個平面對稱的軌道。這個軌道的特點是三個質點在同一條直線上運動，然后分別繞著兩個對稱的焦點旋轉半個周期，再回到同一條直線上。這個軌道的物理周期是T=2π√2/Gm，其中m是三個相同質點的質量。

這個軌道在當時引起了很大的興趣，因為它是第一個被發現的非圓形的周期性無碰撞軌道。然而，這個軌道也有一個缺點，就是它非常不穩定，即任何微小的擾動都會導致它偏離原來的形狀。因此，這個軌道在實際中很難觀察到。

在接下來的一個多世紀里，人們對三體無碰撞等質量自由落體問題進行了各種各樣的研究，但是只有少數幾個新的周期性無碰撞軌道被發現。其中最有名的是2000年由切爾諾夫斯基和蒙哥馬利發現的另一個八字形軌道，它是一個空間對稱的軌道。這個軌道的特點是三個質點在同一條直線上運動，然后分別繞著兩個對稱的焦點旋轉一個完整的周期，再回到同一條直線上。

這個軌道比莫爾發現的八字形軌道更加穩定，但是仍然不夠穩定，在實際中也很難觀察到。除了這兩個八字形軌道之外，還有兩個平面對稱的周期性無碰撞軌道被發現，它們分別被稱為蝴蝶形軌道和月牙形軌道。這兩個軌道都有三個對稱性質：平移、旋轉和反射。

最近的一項新研究，對三體自由落體問題中的無碰撞周期軌道進行了重新搜索和發現。研究人員只考慮了等質量的情況，因為這是最簡單和最具有對稱性的情況。他們使用了一種改進的數值方法，結合了牛頓迭代法和多項式插值法，來求解三體系統的運動方程，并且使用了一種基于哈希表和相似度度量的方法，來去除重復和相似的軌道。他們還使用了一種基于雅可比常數和角動量方向的方法，來判斷軌道是否是自對偶的。

結果是驚人的：他們找到了 24,582 個無碰撞周期軌道的初始條件，對應于12,409 個不同的軌道解，其中236個是自對偶的。他們發現，找到的大部分軌道都是非平面的，并且具有復雜而美麗的形狀。其中有一些是已經被發現過的，比如莫爾頓八字形軌道，赫羅尼穆斯四葉草形軌道等；但是也有很多是全新發現的，比如雙心形軌道，雙蝴蝶形軌道等。

他們還發現了一些非常特殊的軌道，它們具有一些非常有趣的性質。比如，有一個自對偶的平面軌道，它由三個相同的橢圓組成，每個橢圓都是由兩個質點交替運動的軌跡。這個軌道可以通過一個旋轉變換變成自己，也可以通過一個鏡像變換變成自己。