玻色子和費米子是種特殊類型的難以區分的粒子，這意味著如果我們在一個特定的系統中，有兩種相同類型的玻色子，我們絕對沒有辦法區分這兩種粒子。這對這些粒子的行為有非常重要的影響，我們可以通過波函數來理解這種不可區分性的影響。

波函數基本上可以被認為是一個數學函數，它包含我們所知道的關于量子系統的所有信息。例如，如果這個系統僅由一個電子組成，那么根據系統的波函數，我們可以計算在空間中不同點找到該電子的概率。具體來說，如果我們對任何波函數取其平方模數，那么它與實驗結果的概率直接相關。

我們現在考慮兩個無法區分的粒子，并且我們采用該系統的波函數并對其進行平方。如果我們交換粒子A和B，波函數的平方應該看起來完全相同，因為我們不應該有任何方法知道哪個粒子是哪個。而如果我們交換這些粒子時波函數平方不相等，那么我們就可以區別這兩個粒子。也就是該波函數的平方必須以這樣的方式表現：|ψ(A,B)|2=|ψ(B,A)|2。

然后我們取這個數學表達式的平方根，我們會發現，方向為A,B的粒子波函數要么完全等于方向B,A的波函數，要么等于方向B,A的波函數前再加一個負號，即ψ(A,B)=±ψ(B,A)。所以我們在這里發現波函數代表兩種不同類別的粒子：具有ψ(A,B)= ψ(B,A)波函數行為的粒子稱為玻色子，具有ψ(A,B)=-ψ(B,A)波函數行為的粒子稱為費米子。

基本上，我們會說玻色子在粒子交換下是對稱的，意思是當我們交換粒子時波函數是相同的。而對于費米子，我們說波函數是反對稱的，意味著當我們交換粒子時波函數變為負值。對稱波函數與反對稱波函數是玻色子和費米子之間差異的關鍵，我們將重點關注。

我們現在假設兩個粒子都是玻色子，它們可以占據兩個不同的能級，標記為0的能級是基態能級，標記為1的能級是稍高的能級。我們可以計算出系統中可能的波函數是什么樣的，例如它可能看起來像這樣：ψ=|0>|0>。當我們交換粒子時，這確實是一個對稱波函數。這實際上意味著如果我們的兩個粒子確實是玻色子，它們可以占據相同的狀態。我們還可以構造另外兩個波函數，它們看起來像這樣：ψ=|0>|0>和ψ=|0>|1> |1>|0>。

如果我們的兩個粒子是費米子，那么情況就不一樣了。當我們交換粒子時，波函數必須變為負值。對于這種特殊的系統，波函數最終只能是這樣：ψ=|0>|1>-|1>|0>。在這個系統中，費米子波函數只有這樣時，我們交換兩個粒子時波函數才會變為負值。

重要的是要注意這樣一個事實，當我們對系統進行測量時，兩個粒子在此波函數中不能處于相同狀態。我們只能發現粒子A處于能級0和B在能級1，或者粒子A處于能級1和B在能級0。這與我們之前在兩個玻色子系統中看到的不同，這是非常重要的玻色子和費米子之間的區別。

我們可以將這種邏輯擴展到多玻色子系統和多費米子系統。所有這些玻色子基本上都可以塌縮成一個能級，而費米子則不能這樣做，它們必須占據不同的能級。

舉一個費米子的例子，原子周圍的電子不會全部塌陷到最低可用能級或任何一個能級。電子是費米子，我們看到隨著原子核周圍電子數量的增加，電子必須占據越來越高的能級，因為較低的能級已被完全占據。當然在這里我忽略了自旋這一小問題，它實際上是允許兩個自旋相反的電子處于相同能級。

回到我們的玻色子，它們都可以占據相同的能級，這一事實就允許我們有一種由玻色子組成的密度相當低的氣體。并且當我們將其冷卻到足夠低的溫度時，通常會發生愛因斯坦凝聚，所有這些玻色子都會塌縮到一個最低能級，這就是玻色-愛因斯坦凝聚體。

當我們有玻色-愛因斯坦凝聚體時，我們往往會看到一些相當有趣的效應，科學家們經常喜歡將其描述為能夠在宏觀層面上看到的量子力學效應。而通常量子效應很難看到，它們僅限于小得多的尺度，但對于玻色-愛因斯坦凝聚，許多量子力學效應變得顯而易見，例如已經觀察到超流性。