1913年8月18日，在摩納哥的蒙特卡洛賭場，紅黑色輪盤賭桌的最后10次旋轉中，球都落在了黑色上。人們認為下一次旋轉肯定是落在紅色上，于是來自整個賭場的賭徒開始在紅色上押注。隨著輪盤的每一次轉動結果都是黑色，人群越來越相信下一輪將是紅色的。但最后黑色又連續出現了16次，總共連續 出現了26次黑色，發生這種情況的概率約為6600萬分之一。賭徒損失了數百萬法郎，因為他們成為賭徒謬論的犧牲品。

如果那天你在蒙特卡洛賭場，你會賭紅色還是黑色？在本文中，我們將看到賭徒們到底哪里出了問題，以及他們如何以正確的思維避免驚人的損失。首先，讓我們從拋硬幣開始講起。

我們都知道，當我們拋硬幣的時候，它會有50%的機會朝上，同樣也會有50%的機會朝下。現在，我拋出硬幣，顯示的是正面，我又連續拋出3次硬幣，也都是正面朝上。四次正面朝上的幾率是十六分之一或6.25%，如果再一次拋出硬幣，很多人可能會認為這次出現反面的機會更高。如果是這樣想，那就落入了賭徒謬誤，他們認為獨立的過去事件會影響同一隨機實驗中獨立的未來事件。

但這是嚴重錯誤的，這枚硬幣不會記憶住最后幾次的翻轉，在下一次翻轉中獲得正面或反面的機會仍然是二分之一。拋硬幣是所謂統計獨立的，每個事件都獨立于之前和未來的事件。我們傾向于認為機會是自我糾正的，或者必須有一個宇宙平衡，所以才會落入賭徒謬論。

事實上，這種宇宙平衡的信念并不像聽起來的那么愚蠢。如果我們拋硬幣的次數足夠多，我們就會開始看到一些非常有趣的東西。1939年，一位名叫J.E Kerrich的南非數學家去歐洲旅行，但最終被關進了丹麥的監獄，出于好奇或純粹的無聊，他將一枚硬幣拋了一萬次并記錄了它落在正面的次數。結果顯示，拋硬幣的次數越多，正面的相對頻率就越來越接近50%。

現代人生活節奏非常快，沒有足夠的空閑時間拋硬幣10000次，但我們可以用計算機進行模擬。并且每次模擬我們都能看到相同的模式，正面出現的相對頻率總是在50%左右。這不僅僅是硬幣的一個特征，對于骰子它落在每個面上的幾率是六分之一或16.67%。如果我們投擲10000次的骰子，我們會發現每個面出現的相對頻率接近于16.67%。

這種現象稱為大數定律，我們所做的試驗越多，結果的相對頻率就越接近于事件的概率。單次翻轉硬幣出現正面的概率為50%，并且在足夠多次的翻轉之后，正面出現的相對頻率約為50%。這使我們有一種感覺：似乎是機會在自我糾正，存在某種宇宙平衡。

因此，一方面我們具有統計獨立性，這告訴我們每一輪都與上一輪無關，賭徒錯誤地認為過去的結果會影響未來的結果的。但另一方面，我們有大數定律，它告訴告訴我們機會系統最終確實會平衡。所以，賭徒們期望在長時間的黑色之后出現紅色似乎是正確的。那么我們如何才能調和這兩個看似矛盾的想法？

它被稱為大數定律是有原因的，我們只有在經過大量試驗后才能看到這種一致性或平衡性。小樣本量通常顯示出極大的可變性，它更有可能連續看到26次黑色。這種現象最著名的例子之一來自比爾·蓋茨基金會所做的一項研究。

該基金會研究了學校的教育成果，發現小型學校總是位居榜首，由此推斷小型學校會導致更好的教育。該基金會將小型學校技術應用于大型學校，例如減少班級規模和降低師生比例，但這些方法未能產生他們所希望的巨大收益。因為基金會忽略了一個關鍵的事情，排名墊底的學校也是小學校。并不是小學校表現更好，而是小學校的考試成績變化更大。一些神童可以使小學校的平均水平顯著上升，而在大學校中，這些極端分數會融入更大的平均數中，幾乎不會產生多少影響。

輪盤賭桌上連續出現的26次黑色，只是一系列數百萬次旋轉中相對較短的連續性。賭徒們所犯的錯誤是，將小樣本量視為與大樣本量相同，但事實上它們之間的差異非常大，這么小的樣本量無法遵守大數定律。