歐幾里得空間是指滿足歐幾里得公理系統(tǒng)的空間。歐幾里得公理系統(tǒng)包括五條基本公理和一些推論定理。其中最重要的一條公理就是平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與之平行。

但是，并非所有可能存在的空間都是歐幾里得空間。事實(shí)上，在19世紀(jì)以前，人們?cè)?jīng)認(rèn)為只有歐幾里得空間才能符合邏輯和自然法則。但隨著數(shù)學(xué)和物理學(xué)的發(fā)展，人們逐漸發(fā)現(xiàn)了非歐幾里得空間。

那么在球面上，圓周率又是多少呢？答案是沒有一個(gè)確定的值。因?yàn)樵谇蛎嫔希瑘A周率取決于圓的大小。如果我們畫一個(gè)很小的圓（相對(duì)于球面半徑），那么它看起來就像平面上的圓一樣，其周長(zhǎng)與直徑之比接近于3.14…；但如果我們畫一個(gè)很大的圓（接近于半個(gè)球面），那么它看起來就像一條直線一樣，其周長(zhǎng)與直徑之比接近于1。

更一般地說，在任何非歐幾里得空間中，如果我們畫一個(gè)很小的圓（相對(duì)于空間曲率），那么它看起來就像平面上的圓一樣，其周長(zhǎng)與直徑之比接近于π；但如果我們畫一個(gè)很大的圓（相對(duì)于空間曲率），那么它看起來就不像平面上的圓一樣，其周長(zhǎng)與直徑之比就會(huì)偏離π。

那么，在非歐幾里得空間中，圓周率是如何計(jì)算的呢？一種方法是使用所謂的高斯-博內(nèi)定理。這個(gè)定理告訴我們，在任何曲面上，一個(gè)小區(qū)域的高斯曲率與該區(qū)域內(nèi)三角形內(nèi)角和與180度之差成正比。換句話說，如果我們?cè)谝粋€(gè)曲面上畫一個(gè)小圓，并在圓內(nèi)劃分若干個(gè)三角形，那么這些三角形內(nèi)角和與180度之差就可以反映出這個(gè)圓周率與π之差。