分?jǐn)?shù)之最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)

一．概念描述

現(xiàn)代數(shù)學(xué)：現(xiàn)代數(shù)學(xué)對(duì)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)有如下定義：

①對(duì)于分?jǐn)?shù)p/q，如果非零整數(shù)P和q互質(zhì)，這樣的分?jǐn)?shù)叫作最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，又稱不可約分?jǐn)?shù)。

②分子、分母只有公剛數(shù)1的分?jǐn)?shù)叫作最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，或者說(shuō)分子和分母是互質(zhì)數(shù)的分?jǐn)?shù)，叫作最筒分?jǐn)?shù)。

③最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)又叫既約分?jǐn)?shù)、不可約分?jǐn)?shù)。它可理解成已經(jīng)約分過(guò)的分?jǐn)?shù)，也就是分子和分母是互質(zhì)數(shù)的分?jǐn)?shù)。

小學(xué)數(shù)學(xué)：分子、分母是互質(zhì)數(shù)的分?jǐn)?shù)，叫作最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。按照字面定義，即若(a，b)=1，那么a/b是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，如1/2，3/4，5/2，7/1等真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)都叫作最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。實(shí)際上，最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的應(yīng)用范圍僅針對(duì)真分?jǐn)?shù)而言。

二．概念解讀

我們知道，在小學(xué)數(shù)學(xué)中，建立最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的概念有利于學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的約分以及整數(shù)比的化簡(jiǎn)。但是，這僅僅是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)概念的最初應(yīng)用。在數(shù)學(xué)上定義既約分?jǐn)?shù)（最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)）在很大程度上都是為了研究的需要。例如，我們要研究分?jǐn)?shù)與小數(shù)的互化。小學(xué)數(shù)學(xué)課本中指出：“一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的質(zhì)因數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就能化成有限小數(shù)；如果分母中含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)，這個(gè)質(zhì)因數(shù)就不能化成有限小數(shù)。”根據(jù)這個(gè)結(jié)論，一個(gè)分?jǐn)?shù)當(dāng)且僅當(dāng)它化為最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)時(shí)，才能據(jù)以判斷它將化為何種小數(shù)。這里并不是單對(duì)真分?jǐn)?shù)而言的，也是針對(duì)假分?jǐn)?shù)來(lái)說(shuō)的。如果只是把最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)定義為分子、分母是互質(zhì)數(shù)的真分?jǐn)?shù)，那么上述結(jié)論就不能起到包含各種情況的作用了。

又如，為了研究無(wú)理數(shù)的需要，在中學(xué)數(shù)學(xué)里，以√2為例，采用反證法證明√2是無(wú)理數(shù)。假設(shè)√2是有理數(shù)，那么就可以表示成既約分?jǐn)?shù)m/n的形式。由于這一類(lèi)證明事先不知道也不必知道m(xù)是真分?jǐn)?shù)還是假分?jǐn)?shù)，它能否化為帶分?jǐn)?shù)以及它的分母是否等于1，所以，這里只能規(guī)定n≠0，且m和n是互質(zhì)數(shù)的整數(shù)。如果把最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)定義為“分子、分母

是互質(zhì)數(shù)的真分?jǐn)?shù)或帶分?jǐn)?shù)”，或者把最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)定義為“分子、分母是互質(zhì)數(shù)的且分母不是1的分?jǐn)?shù)”，那么都不能概括上述的各種情況，因而是無(wú)助于無(wú)理數(shù)存在的證明的。

從上面兩個(gè)例子中可以看出，我們把分子分母是互質(zhì)數(shù)的分?jǐn)?shù)定義為最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，是有利于數(shù)學(xué)上的計(jì)算和研究的。

三．教學(xué)建議

最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)是在學(xué)習(xí)了約分的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。教學(xué)時(shí)，教師可以進(jìn)行情境導(dǎo)入：一共要游完100米，小明游了75米，小華游了全程的3/4，比一比誰(shuí)游得遠(yuǎn)一些？因?yàn)閯倓倢W(xué)完約分，學(xué)生會(huì)利用相關(guān)知識(shí)，把75/100化成3/4。然后學(xué)生通過(guò)充分討論驗(yàn)證得出結(jié)論：75/100和3/4的分?jǐn)?shù)大小相等。這樣的教學(xué)從學(xué)生已有的認(rèn)知發(fā)展水平和知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，為學(xué)生提

供充分的時(shí)間和空間進(jìn)行思考，通過(guò)知識(shí)的遷移，使學(xué)生能夠運(yùn)用學(xué)過(guò)的知識(shí)解決新的問(wèn)題，在觀察、發(fā)現(xiàn)以及和同學(xué)的交流中理解約分能使分?jǐn)?shù)化簡(jiǎn)。緊接著教師追問(wèn)“75/100和3/4有什么不同？”，讓學(xué)生充分表達(dá)自己的想法，在交流想法的過(guò)程中達(dá)成共識(shí)：這兩個(gè)分?jǐn)?shù)相等，并且75/100化成3/4最簡(jiǎn)單，因?yàn)榉肿印⒎帜付家呀?jīng)比較小了。然后教師可以繼續(xù)鼓勵(lì)學(xué)生思考：為什么3/4與75/100比是簡(jiǎn)單了，那還有沒(méi)有和它們相等、但比3/4還簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)？為什么3/4是最簡(jiǎn)單的？這可以為學(xué)生提供小組交流與合作的時(shí)間與空間，使他們能充分交流自己的看法，逐步構(gòu)建新知，理解最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的本質(zhì)。此時(shí)，再揭示最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的概念---3/4的分子、分母的公因數(shù)只有1，這樣的分?jǐn)?shù)就是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。

需要指出的是，對(duì)于這樣的小學(xué)數(shù)學(xué)概念，不一定要用專(zhuān)業(yè)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)脑~句去定義，而一定要以具體直觀的實(shí)例做支撐，讓學(xué)生理解。最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的教學(xué)屬于概念教學(xué)，在概念教學(xué)的過(guò)程中，為了使學(xué)生順利獲取有關(guān)概念，常常要提供豐富的感性材料讓學(xué)生觀察，并在此基礎(chǔ)上通過(guò)教師的啟發(fā)引導(dǎo)，對(duì)感性材料進(jìn)行比較、分析、綜合，最后再抽象概括出概念的本質(zhì)屬性。即通過(guò)一系列的判斷、推理，使概念得到鞏固和運(yùn)用。例如，揭示最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的概念后，讓學(xué)生兩人一組各舉出5個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)：或者出示多個(gè)分?jǐn)?shù)，問(wèn)他們哪些分?jǐn)?shù)是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)并說(shuō)明理由等，從而鞏固最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的意義。

教學(xué)中，學(xué)生的主體地位是必要的，但教師在教學(xué)全過(guò)程中的主導(dǎo)地位也不能忽視。教師應(yīng)發(fā)揮好主導(dǎo)作用，因?yàn)榻處熍c學(xué)生的主、客體地位是相互依存、相互規(guī)定、在一定條件下又相互轉(zhuǎn)化的。例如，教師可以追問(wèn)：對(duì)于不是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)，你們有辦法化成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)嗎？然后請(qǐng)學(xué)生嘗試做，繼而交流討論化最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的方法。具體做法如下---方法一：用分子，分母的公因數(shù)，逐次去除分子和分母，最后得到最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。方法二：用分子，分母的最大公因數(shù)，分別去除分子和分母，得到最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。

這樣學(xué)生不僅掌握了什么是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，同時(shí)也掌握廠約分的方法---方法是用來(lái)解決問(wèn)題的，更是學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)的。因此在教學(xué)中，教師不能只枯燥地講解概念，而要在一定情境中激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造激情，點(diǎn)燃學(xué)生解決問(wèn)題的欲望，這樣數(shù)學(xué)概念教學(xué)才能有生命力。

在概念教學(xué)中，教師還要善于為學(xué)生創(chuàng)造條件，讓學(xué)生沿著觀察、思維、理解、表達(dá)的過(guò)程，由感性到理性、由具體到抽象地去掌握概念。這樣極易調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性、主動(dòng)性，也可以教會(huì)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)真理。

四．推薦閱讀

《小學(xué)數(shù)學(xué)研究》（張奠宙等，高等教育出版社，2009）

該書(shū)第四章從分?jǐn)?shù)等價(jià)性的角度介紹了最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，并闡明最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)是分?jǐn)?shù)的等價(jià)類(lèi)中的一個(gè)特殊代表。