<span class="answer">導讀</span>什么是數學？巧克力布朗尼：?配料115克黃油125克黑巧克力150克糖粉80克土豆粉2個中等大小的雞蛋方法?將黃油和巧克力融化，一起攪勻，然后冷卻一會兒。?....<p><br/></p><p><img alt="數學奧秘在這里（跨越抽象與現實的邊界）(1)" src="/static/upload/image/20231217/2a98a506e58c4a34bef70aeb72b69163.jpg"/></p><strong>什么是數學？</strong><p>巧克力布朗尼：</p><p>? 配料 115 克黃油 125 克黑巧克力 150 克糖粉 80 克土豆粉 2 個中等大小的雞蛋 方法</p><p>? 將黃油和巧克力融化，一起攪勻，然后冷卻一會兒。</p><p>? 將加入糖的蛋液打發。</p><p>? 緩緩將巧克力倒入蛋液中。</p><p>? 倒入土豆粉。</p><p>? 將混合液體倒入單獨的幾個小號模具中，將烤箱溫度調至 180°C 預熱，然后放入模具，烤大約 10 分鐘（或者根據你喜歡的熟度調節時間）。</p><p><img alt="數學奧秘在這里（跨越抽象與現實的邊界）(2)" src="/static/upload/image/20231217/74c3dfc75245412fa0bcaede131aa177.jpg"/></p><p>數學，就像食譜一樣，包含配料和方法。同樣，就像食譜如果不談論方法會變得無用，如果我們不談論數學的研究方法，而只討論數學的研究對象，我們就無法理解數學究竟是什么。碰巧，在上述這個食譜里，方法很重要——我們沒法兒直接用一個很大的托盤成功地烤出布朗尼，我們必須要用小號模具。在數學里，方法也許比配料更重要。真正的數學很可能并不是你在學校的數學課上學到的東西。不過，就我自己而言，我似乎一直都知道數學的內涵要比我們在學校學到的那些更豐富。那么，什么是數學呢？</p><strong>食譜書-按照所需廚具來給食譜分類會怎樣？</strong><p>做飯的流程通常類似于這樣：決定你想做什么，買原材料，然后著手烹飪。有時，步驟的順序會發生顛倒：你在商店或市場里閑逛，看到一些不錯的食材，想要用它們來做飯。也許是某種格外新鮮的魚，也許是一種你從未見過的蘑菇。你先把它們買回家，然后才開始查可以用它們做什么菜。</p><p>這與做學術研究的研究對象頗具異曲同工之處。通常，當你說起你所研究的課題時，你會根據你的研究對象是什么來描述它。也許你研究的是鳥類、植物、食物、烹飪、理發，或者是過去發生的事，又抑或是社會如何運轉。一旦你決定了想要研究什么，你就需要學習研究它的方法，或是自創一些研究方法，就像在烹飪中學習打發蛋白或是給黃油脫水一樣。</p><p><img alt="數學奧秘在這里（跨越抽象與現實的邊界）(3)" src="/static/upload/image/20231217/2374e4cfd158414daff2310b22c71e46.jpg"/></p><p>然而，在數學領域，我們所研究的對象本身就取決于我們使用的研究方法。這就類似于我們買了一個攪拌機，然后決定用它做各種美食這種情況。與其他學科相比，數學的研究過程可以說是逆向的。通常而言，是我們的研究對象決定我們的研究方法；是我們先決定晚飯想吃什么，然后再選用合適的廚具。但是，當我們因新買的攪拌機而心情激動時，我們就會想試試用它來做我們所有的飯菜。（至少，我就見過這么做的人。）</p><p>這多少有點兒像“先有雞還是先有蛋”的問題。但我的論點是，數學是由它的研究方法來定義的，而它的研究對象則是由那些研究方法決定的。</p><strong>立體主義-當風格影響內容的選擇時</strong><p>用研究方法給數學分類與藝術流派的分類十分相似。諸如立體主義、點彩畫派、印象派這些流派都是依據作畫方法，而不是依據作畫內容來劃分的。芭蕾和歌劇也是如此，其藝術形式是根據表達方式劃分的，而主題內容通常是有固定范疇的。芭蕾很適合抒發情感，但并不那么適合描述對白，也不適合表達政治訴求。立體主義顯然不適合描繪昆蟲。交響樂適合表現大喜大悲，但并不適合傳達如“請把鹽遞給我”這樣的尋常信息。</p><p>在數學里，我們使用的方法是邏輯。我們只想使用純粹的邏輯推理，而非使用實驗、實證、盲信、希望、民主、暴力等種種途徑。僅僅是邏輯。那么，我們研究的對象是什么呢？我們研究所有符合邏輯規則的事物。</p><p>數學是運用邏輯規則，對所有符合邏輯規則的事物進行的研究。</p><p>我承認這是一個過分簡化的定義。但我希望，在讀了本書更多內容以后，你會明白這個定義就它本身而言已經足夠準確了，它正是一個范疇論數學家會給出的定義，而非像第一眼看上去那樣是個循環論證。</p><strong>誰是首相-用它是做什么的來描述事物</strong><p>設想有人問你“誰是首相”，而你回答說“他是政府首腦”。這個答案沒錯，但并不能讓人滿意，因為它沒有正面回答問題：你描述了首相的性質，但沒告訴我們首相是做什么的。同樣，我剛剛對于數學的“定義”也描述了數學的特點，但并沒有告訴你它是做什么的。因此，這個定義可能不是很有幫助，或者至少不太全面——不過，這只是了解數學的開始。</p><p>我們可以說清楚數學是什么，而不是數學像什么嗎？數學到底研究什么？它的確研究數字，但也研究其他東西，比如形狀、圖像和模式，以及肉眼看不到的——富有邏輯的想法。甚至還有更多：那些我們目前還不知道的東西。數學持續發展的原因之一就是，一旦你掌握了一種方法， 你總能找到更多可以用它來研究的對象，然后你又能找到更多研究這些對象的方法，再然后你又能用新方法找到更多可以研究的對象，如此循環往復，就像雞生蛋，蛋生雞，雞生蛋……</p><strong>山脈-登上一座山能讓你看到更高的山</strong><p>你是否有過這種體驗——登上一座山的頂峰，發現的卻是比它更高的所有其他山峰？數學也是如此，它越發展，可供研究的對象就越多。此事的發生一般伴隨著兩種過程。</p><p>第一種是“抽象化”：我們用邏輯梳理清楚了本來沒有邏輯存在的領域。打個比方，可能你原本只用電飯煲煮米飯，而有一天，你發現你也可以用它來烤蛋糕，而且用電飯煲烤出來的蛋糕和用傳統烤箱烤出來的蛋糕只有一點點不同。換句話說，我們借助一種新的視角來看待原本不是數學的事物，從而將其變為數學。這就是為什么 x 和 y 會出現在數學領域的原因——我們原先的目的是研究數字，但后來我們發現此種處理數字的方法也可以應用到其他領域。</p><p>第二種是“廣義化”：我們明白了如何用我們已經理解的事物來建構更復雜的事物。這就好像你用攪拌機做了一個蛋糕，又用攪拌機做了酥皮，然后把兩者堆疊起來，創造出一種新的甜點。在數學領域，這就等同于用比較簡單的數字、三角形和日常生活中的事物來建構多項式、矩陣、四維空間等。</p><strong>鳥類-鳥類不等于鳥類研究</strong><p>假設你是一個研究鳥類的專家。你研究鳥類的行為、飲食、求偶方式、育幼方式以及它們怎樣消化食物，等等。然而，你永遠不可能用更簡單的鳥類來創造一種新的鳥類——鳥類不是這樣創造出來的。在這件事上，你不能使用廣義化，至少不能使用數學的廣義化。</p><p>另一件你無法做到的事情是把不是鳥類的東西變成鳥類。鳥也不是這樣創造出來的。所以你也沒有辦法使用抽象化。有時，我們也會發現自己犯了分類的錯誤，需要對此進行修正，比如把雷龍“變為”一種迷惑龍，但那只是因為我們意識到了雷龍是迷惑龍屬的一種，而不是真的把前者變成了后者。我們不是魔術師，不能把一件東西變成另一件東西。但在數學里，我們可以這樣做，因為數學研究的是關于事物的想法，而不是真實事物本身，因此，我們只 需要改變自己頭腦中的想法，就可以改變我們的研究對象。通常，這意味著改變我們對某種事物的看法，改變我們的視角，或是改變我們描述的方式。</p><p>一個數學上的例子是繩結，如下圖所示。</p><p><img alt="數學奧秘在這里（跨越抽象與現實的邊界）(4)" src="/static/upload/image/20231217/5ebb5cd7a76349ac8d58cea57ae33f28.jpg"/></p><p>在 18 世紀和 19 世紀，范德蒙、高斯和其他一些數學家想出了如何用數學的方式來看待繩結，這樣一來他們就可以用邏輯規則來研究它們了。</p><p>這個方式就是，想象把一根繩子的兩端粘在一起，使其成為一個封閉的環。雖然這樣一來，繩結沒有膠水就做不成了，但這也讓數學家能更方便地研究它。每一個繩結都可以用三維空間里的一個環來表示。在拓撲學里，研究這種問題的方法有很多，對此我們稍后會加以討論。總之，這樣一來，我們不但可以對真正存在的繩結進行種種推斷，還可以研究那些在宏觀世界中不成立，但在微觀世界的分子結構中真實存在的“結”。</p><p>關于將“真實”世界中的事物轉化為“數學”世界中的事物，幾何圖形是另一個更為古老的例子。數學的發展可以說經歷了以下幾個階段：</p><ol start="1"><li>它起源于對數字的研究。</li><li>人們想出了一些方法來研究這些數字。</li><li>人們意識到，這些方法也可以用來研究其他事物。</li><li>人們四處尋找其他可以用這些方法來研究的事物。</li></ol><p>其實還有一個步驟 0，位于數字誕生以前：有人發明了數字這個概念。數字可以說是數學中可以研究的最基本的東西，但數字并不是一開始就有的。也許，數字的發明就是最早的抽象化過程。</p><p>接下來我要講的故事是關于抽象的數學的。我想說的是，它的力量和美麗并非體現在它所提供的答案和它所解決的問題上，而在于它對人的啟蒙，它帶來的照亮世界的一束光。正是這束光讓人看得更加清楚，而由此，我們便邁出了認識周圍世界的第一步。</p><p><img alt="數學奧秘在這里（跨越抽象與現實的邊界）(5)" src="/static/upload/image/20231217/39c83fc172fb4ea390b844824df52f58.jpg"/></p><p>本文整合自中信《數學思維》, [遇見] 已獲授權, 特此感謝!</p><span class="copyright">免責聲明：</span>本文由用戶上傳，如有侵權請聯系刪除！